Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=sin ^3(3 x^2+6 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=sin^3l(3x^2+6xr). Aqui o conteúdo é a Regra da Cadeia: temos uma função potência aplicada a sin, que por sua vez recebe um polinômio. Para resolver vamos usar:
  1. Derivada de w^3 em relação a w é 3w^2.
  2. Derivada de sin(u) em relação a u é cos(u).
  3. Derivada do polinômio interno 3x^2+6x.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=3x^2+6x
e então
f(x)=l[sinl(u(x)r)r]^3
Pela Regra da Cadeia, se f(x)=[v(x)]^3 então
f'(x)=3,[v(x)]^2,v'(x)

Passo 3

Aqui v(x)=sinl(u(x)r). Logo,
f'(x) =3l[sin(u(x))r]^2;ddxl[sin(u(x))r]
E
ddxl[sin(u(x))r] =cosl(u(x)r),u'(x)

Passo 4

Calculamos agora
u'(x)=ddxl(3x^2+6xr)=6x+6
Substituindo na expressão de f'(x) temos
f'(x) =3l[sinl(u(x)r)r]^2 ;cosl(u(x)r);(6x+6)

Passo 5

Voltando a u(x)=3x^2+6x, escrevemos
f'(x) =3,(6x+6),sin^2l(3x^2+6xr),cosl(3x^2+6xr)
Fatorando 6 obtemos
f'(x)=18,(x+1),sin^2l(3x^2+6xr),cosl(3x^2+6xr)

Resposta

f'(x)=18,(x+1),sin^2l(3x^2+6xr),cosl(3x^2+6xr)

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