Resolver o problema de valor inicial dado.
y^(4)+6 y^prime prime prime+17 y^prime prime+22 y^prime+14 y=0 ; y(0)= 1, y^prime(0)=-2, y^prime prime(0)=0, y^prime prime prime(0)=3.

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO linear homogênea de 4.º ordem com coeficientes constantes
y^(4) + 6y^primeprimeprime +17y^primeprime+22y^prime+14y=0
sujeita às condições iniciais
y(0)=1, y'(0)=-2, y''(0)=0, y^primeprimeprime(0)=3
O conteúdo necessário é a resolução pelo polinômio característico, obtenção da solução geral e aplicação das condições iniciais para determinar as constantes arbitrárias.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico
r^4 + 6r^3 +17r^2 +22r +14 =0
Fatoramos em dois quadráticos:
r^4 +6r^3+17r^2+22r+14 = (r^2+2r+2)(r^2+4r+7)
Das raízes desses quadráticos obtemos
r=-1pm i e r=-2pm iraiz3

Passo 3

A solução geral da EDO é
y(t)=e^-tl(C1cos t + C2sin tr) ;+; e^-2tl(C3cos(raiz3,t) + C4sin(raiz3,t)r),
onde C1,C2,C3,C4 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Vamos calcular y(0),y'(0),y''(0),y'''(0) em termos de C1,C2,C3,C4.
Defina
T1(t)=e^-t(C1cos t + C2sin t), T2(t)=e^-2t(C3cos(raiz3t)+C4sin(raiz3t))
Com derivadas avaliadas em t=0 obtemos:
  1. T1(0)=C1, T1'(0)=C2-C1, T1''(0)=-2C2, T1'''(0)=2(C1+C2)
  2. Denote omega=raiz3. Então
T2(0)=C3, T2'(0)=omega C4 -2C3, T2''(0)=C3 -4omega C4, T2'''(0)=10C3+9omega C4
Somando y=T1+T2 e suas derivadas, as condições iniciais geram o sistema:
C1 + C3 = 1, (C2-C1)+(omega C4-2C3)=-2, (-2C2)+(C3-4omega C4)=0, 2(C1+C2)+(10C3+9omega C4)=3

Passo 5

Resolvendo esse sistema para C1,C2,C3,C4 (com omega=raiz3) obtemos
C1=2113, C2=-3813, C3=-813, C4=1713raiz3

Passo 6

Substituindo em y(t)=T1(t)+T2(t), a solução que satisfaz o problema de valor inicial é
y(t) =e^-tl(tfrac2113cos t - tfrac3813sin tr) +e^-2tl(-tfrac813cos(raiz3,t) + tfrac1713raiz3sin(raiz3,t)r)

Resposta

boxed y(t) =e^-tl(tfrac2113cos t - tfrac3813sin tr) +e^-2tl(-tfrac813cos(raiz3,t) + tfrac1713raiz3sin(raiz3,t)r)

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