O enunciado pede a solução da EDO linear homogênea de 4.º ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
O conteúdo necessário é a resolução pelo polinômio característico, obtenção da solução geral e aplicação das condições iniciais para determinar as constantes arbitrárias.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico
Fatoramos em dois quadráticos:
Das raízes desses quadráticos obtemos
Passo 3
A solução geral da EDO é
onde são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Vamos calcular em termos de .
Defina
Com derivadas avaliadas em obtemos:
Denote . Então
Somando e suas derivadas, as condições iniciais geram o sistema:
Passo 5
Resolvendo esse sistema para C1,C2,C3,C4 (com omega=raiz3) obtemos
C1=2113, C2=-3813, C3=-813, C4=1713raiz3
Passo 6
Substituindo em y(t)=T1(t)+T2(t), a solução que satisfaz o problema de valor inicial é
y(t) =e^-tl(tfrac2113cos t - tfrac3813sin tr) +e^-2tl(-tfrac813cos(raiz3,t) + tfrac1713raiz3sin(raiz3,t)r)
Resposta
boxed y(t) =e^-tl(tfrac2113cos t - tfrac3813sin tr) +e^-2tl(-tfrac813cos(raiz3,t) + tfrac1713raiz3sin(raiz3,t)r)