Verifique se as funções abaixo são contínuas em x=0 e justifique.
f(x)=\left\{\begin{array}{lc}\cos (x) & , \quad x \leq 0 \\\ \frac{x}{\operatorname{sen}(x)} & , \quad 0<x<\pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \cos(x),&x\le0,\\\ \dfrac{x}{\operatorname{sen}(x)},&0<x<\pi, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em x=0. Para isso, precisamos checar se
\lim_{x\to0^-}f(x)\;=\;\lim_{x\to0^+}f(x)\;=\;f(0).

Passo 2

Como 0 pertence à parte x\le0, temos
f(0)=\cos(0)=1.

Passo 3

Calculamos o limite pela esquerda usando a continuidade da função cosseno:
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\cos(x)=\cos(0)=1.

Passo 4

Calculamos o limite pela direita aplicando o limite fundamental \sin(x)/x\to1. Note que
\frac{x}{\operatorname{sen}(x)} =\frac{1}{\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}},
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\lim_{x\to0^+}\frac{x}{\operatorname{sen}(x)} =\frac{1}{\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}} =\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Como
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^+}f(x) =f(0)=1,
concluímos que f é contínua em x=0.

Resposta

A função f é contínua em x=0.

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