Calcule a derivada das seguintes funções.
f(x)=(e^x+x^3)(cos (2 x)-1)

Passo 1

Primeiro, a gente tem a função dada por
f(x)=(e^x+x^3)(cos(2x)-1)
O conteúdo que vamos usar é derivada de produto e derivada de função composta (chain rule).

Passo 2

Para aplicar a regra do produto, definimos
u(x)=e^x+x^3
e
v(x)=cos(2x)-1
Assim, a regra do produto diz:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de cada parte:
Para u(x)=e^x+x^3,
u'(x)=e^x+3x^2
Para v(x)=cos(2x)-1, usamos chain rule: a derivada de cos(2x) é -sin(2x) vezes a derivada de 2x, que é 2. Portanto,
v'(x)=-2sin(2x)

Passo 4

Substituímos tudo na fórmula do produto:
f'(x)=(e^x+3x^2)(cos(2x)-1)+(e^x+x^3)(-2sin(2x))

Passo 5

Finalmente, a gente pode escrever de forma mais enxuta:
f'(x)=(e^x+3x^2)(cos(2x)-1)-2(e^x+x^3)sin(2x)

Resposta

f'(x)=(e^x+3x^2)(cos(2x)-1)-2(e^x+x^3)sin(2x)

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