Calcule a derivada das seguintes funções.
f(x)=raizsen(x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=raizsen(x^2). O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções compostas. Vamos precisar usar a derivada de uma potência (ou raiz), a derivada de sen(u) e a derivada de x^2.

Passo 2

Reescrevemos a raiz como potência de expoente 1/2:
f(x)=(sen(x^2))^1/2
Aplicando a regra da cadeia nessa primeira camada, temos
f'(x)=tfrac12(sen(x^2))^-1/2cdotddx[sen(x^2)]

Passo 3

Para derivar sen(x^2), aplicamos novamente a regra da cadeia: a derivada de sen(v) é cos(v), multiplicada pela derivada de v=x^2, que é 2x. Assim,
ddx[sen(x^2)] = cos(x^2)cdot 2x

Passo 4

Substituindo esse resultado em f'(x) e simplificando o fator 2:
$$f’(x)=\tfrac12(\operatorname{sen}(x2)){-1/2}\cdot(2x\cos(x^2)) = x\cos(x2),(\operatorname{sen}(x2))^{-1/2}.
$$

Passo 5

Expressando de volta em termos de raiz, chegamos a:
f'(x)=xcos(x^2)raizsen(x^2)

Resposta

f'(x)=xcos(x^2)raizsen(x^2)

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