Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas que vamos usar: a função é uma composição (coseno de algo), o argumento interno é
e há uma raiz quadrada
implicando que a expressão dentro da raiz exige
(ou seja
). A tarefa é achar
(a derivada em termos de
).
Passo 2
Entenda a estrutura em camadas (isso ajuda a aplicar a regra do encadeamento, a famosa “chain rule”). Vamos decompor:
defina
defina
e então
A regra da cadeia diz que, quando temos
, a derivada é
Explicando: a derivada de
em relação a
é
. Como o argumento é
e não
direto, multiplicamos por
.
Passo 3
Agora vamos calcular
. Temos
A derivada de uma constante é zero, então só precisamos derivar
. Lembre que
e a derivada de
em relação a
é
. Como aqui
depende de
, aplicamos a regra da cadeia de novo:
A derivada de
é
. Substituindo:
Portanto
Passo 4
Volte para a fórmula da derivada usando a regra da cadeia:
Substitua
e
:
Passo 5
Simplifique os sinais (menos vezes menos vira mais) e organize a expressão:
Expliquei antes cada passo: derivada de
=
, derivada de
=
vezes derivada interna, e simplificamos os fatores
que surgiram.
Passo 6
Observação sobre domínio da derivada: a função original está definida para
. Porém a expressão da derivada tem denominador
, que é zero em
. Logo
está dada pela expressão acima para
; nos pontos
a derivada não existe por divisão por zero.