Calcule a derivada das seguintes funções:
f(t)=\cos \left(1-\sqrt{t^{2}-4}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(t)=\cos\!\left(1-\sqrt{t^{2}-4}\right).
Informações dadas que vamos usar: a função é uma composição (coseno de algo), o argumento interno é 1-\sqrt{t^{2}-4} e há uma raiz quadrada \sqrt{t^{2}-4} implicando que a expressão dentro da raiz exige t^{2}-4\ge 0 (ou seja |t|\ge 2). A tarefa é achar f'(t) (a derivada em termos de t).

Passo 2

Entenda a estrutura em camadas (isso ajuda a aplicar a regra do encadeamento, a famosa “chain rule”). Vamos decompor:
defina
u(t)=1-\sqrt{t^{2}-4}
e então
f(t)=\cos\big(u(t)\big).
A regra da cadeia diz que, quando temos f(t)=\cos(u(t)), a derivada é
f'(t) = -\sin\big(u(t)\big)\cdot u'(t).
Explicando: a derivada de \cos(x) em relação a x é -\sin(x). Como o argumento é u(t) e não t direto, multiplicamos por u'(t).

Passo 3

Agora vamos calcular u'(t). Temos
u(t)=1-\sqrt{t^{2}-4}.
A derivada de uma constante é zero, então só precisamos derivar \sqrt{t^{2}-4}. Lembre que \sqrt{z}=z^{1/2} e a derivada de z^{1/2} em relação a z é \tfrac{1}{2}z^{-1/2}=\tfrac{1}{2\sqrt{z}}. Como aqui z=t^{2}-4 depende de t, aplicamos a regra da cadeia de novo:
\frac{d}{dt}\sqrt{t^{2}-4}=\frac{1}{2\sqrt{t^{2}-4}}\cdot\frac{d}{dt}\big(t^{2}-4\big).
A derivada de t^{2}-4 é 2t. Substituindo:
\frac{d}{dt}\sqrt{t^{2}-4}=\frac{1}{2\sqrt{t^{2}-4}}\cdot 2t=\frac{t}{\sqrt{t^{2}-4}}.
Portanto
u'(t)=0-\frac{t}{\sqrt{t^{2}-4}}=-\frac{t}{\sqrt{t^{2}-4}}.

Passo 4

Volte para a fórmula da derivada usando a regra da cadeia:
f'(t) = -\sin\big(u(t)\big)\cdot u'(t).
Substitua u(t)=1-\sqrt{t^{2}-4} e u'(t)=-\dfrac{t}{\sqrt{t^{2}-4}}:
f'(t) = -\sin\!\big(1-\sqrt{t^{2}-4}\big)\cdot\left(-\frac{t}{\sqrt{t^{2}-4}}\right).

Passo 5

Simplifique os sinais (menos vezes menos vira mais) e organize a expressão:
f'(t)=\frac{t\,\sin\!\big(1-\sqrt{t^{2}-4}\big)}{\sqrt{t^{2}-4}}.
Expliquei antes cada passo: derivada de \cos = -\sin, derivada de \sqrt{\cdot} = \dfrac{1}{2\sqrt{\cdot}} vezes derivada interna, e simplificamos os fatores 2 que surgiram.

Passo 6

Observação sobre domínio da derivada: a função original está definida para |t|\ge 2. Porém a expressão da derivada tem denominador \sqrt{t^{2}-4}, que é zero em t=\pm 2. Logo f'(t) está dada pela expressão acima para |t|>2; nos pontos t=\pm 2 a derivada não existe por divisão por zero.

Resposta

f'(t)=\frac{t\,\sin\!\big(1-\sqrt{t^{2}-4}\big)}{\sqrt{t^{2}-4}},\quad |t|>2

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