Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é uma composição em três níveis: primeiro
, depois , depois e, por fim, . Ou seja, . - É importante notar o domínio natural:
exige . Porém a derivada que iremos obter contém , que só está definida para . Portanto a derivada só faz sentido (no sentido clássico) para .
Passo 2
Ideia do procedimento (sem resolver ainda): quando temos uma função composta como aqui, usamos a regra da cadeia repetidas vezes. Vou decompor a função em níveis intermediários para que cada derivada seja clara. Definindo as funções intermediárias:
Assim
,
e
. A regra da cadeia diz que, para composições em cadeia, a derivada é o produto das derivadas dos níveis internos avaliadas apropriadamente. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Derivada de
. Primeiro lembrar a fórmula:
Aqui expliquei cada passo: escrevemos
como potência
e aplicamos a regra da potência
. Substituindo
obtemos
.
Passo 4
Derivada de
. Usamos que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Assim:
Expliquei: multipliquei a constante
pela derivada que já obtivemos em
.
Passo 5
Derivada de
. Lembre a fórmula básica:
Aqui a ideia é que a derivada da exponencial
em relação a
é
, e por cadeia multiplicamos por
. Substituindo
e
já calculado:
Passo 6
Derivada da função externa
. A fórmula usada:
Explicação: a derivada da função seno em relação ao seu argumento é o cosseno do argumento; pela regra da cadeia multiplicamos pelo derivado do argumento
. Agora substituímos
e
obtido antes:
Passo 7
Organizando e simplificando a expressão final: podemos escrever o resultado de forma compacta como
Comentário final e dica para a prova: ao ver uma composição como
, sempre identifique os níveis (aqui:
,
,
,
) e aplique a regra da cadeia de dentro para fora, multiplicando as derivadas. Verifique o domínio — no exame pode ser pedido explicitamente.