Calcule a derivada das seguintes funções:
h(x)=\operatorname{sen}\left(e^{2 \sqrt{x}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
h(x)=\operatorname{sen}\!\left(e^{2\sqrt{x}}\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é uma composição em três níveis: primeiro x\mapsto \sqrt{x}, depois t\mapsto 2t, depois s\mapsto e^{s} e, por fim, r\mapsto \operatorname{sen}(r). Ou seja, h(x)=\operatorname{sen}\bigl(e^{\,2\sqrt{x}}\bigr).
  • É importante notar o domínio natural: \sqrt{x} exige x\ge 0. Porém a derivada que iremos obter contém \dfrac{1}{\sqrt{x}}, que só está definida para x>0. Portanto a derivada só faz sentido (no sentido clássico) para x>0.

Passo 2

Ideia do procedimento (sem resolver ainda): quando temos uma função composta como aqui, usamos a regra da cadeia repetidas vezes. Vou decompor a função em níveis intermediários para que cada derivada seja clara. Definindo as funções intermediárias:
u(x)=e^{2\sqrt{x}},\qquad v(x)=2\sqrt{x},\qquad w(x)=\sqrt{x}.
Assim h(x)=\operatorname{sen}\bigl(u(x)\bigr), u(x)=e^{v(x)} e v(x)=2\,w(x). A regra da cadeia diz que, para composições em cadeia, a derivada é o produto das derivadas dos níveis internos avaliadas apropriadamente. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Derivada de w(x)=\sqrt{x}. Primeiro lembrar a fórmula:
\text{Se }w(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}\text{ então }w'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.ã
Aqui expliquei cada passo: escrevemos \sqrt{x} como potência x^{1/2} e aplicamos a regra da potência \dfrac{d}{dx}x^{\alpha}=\alpha x^{\alpha-1}. Substituindo \alpha=\tfrac{1}{2} obtemos w'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.

Passo 4

Derivada de v(x)=2\sqrt{x}. Usamos que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Assim:
v'(x)=2\,w'(x)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.
Expliquei: multipliquei a constante 2 pela derivada que já obtivemos em w'(x).

Passo 5

Derivada de u(x)=e^{v(x)}. Lembre a fórmula básica:
\text{Se }u(x)=e^{v(x)}\text{ então }u'(x)=e^{v(x)}\cdot v'(x).ã
Aqui a ideia é que a derivada da exponencial e^{z} em relação a z é e^{z}, e por cadeia multiplicamos por dz/dx=v'(x). Substituindo v(x) e v'(x) já calculado:
u'(x)=e^{2\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{e^{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}.

Passo 6

Derivada da função externa h(x)=\operatorname{sen}\bigl(u(x)\bigr). A fórmula usada:
\text{Se }h(x)=\operatorname{sen}\bigl(u(x)\bigr)\text{ então }h'(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).ã
Explicação: a derivada da função seno em relação ao seu argumento é o cosseno do argumento; pela regra da cadeia multiplicamos pelo derivado do argumento u'(x). Agora substituímos u(x)=e^{2\sqrt{x}} e u'(x)=\dfrac{e^{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} obtido antes:
h'(x)=\cos\!\bigl(e^{2\sqrt{x}}\bigr)\cdot\frac{e^{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}.

Passo 7

Organizando e simplificando a expressão final: podemos escrever o resultado de forma compacta como
h'(x)=\frac{e^{2\sqrt{x}}\cos\!\bigl(e^{2\sqrt{x}}\bigr)}{\sqrt{x}},\qquad x>0.
Comentário final e dica para a prova: ao ver uma composição como \operatorname{sen}(e^{2\sqrt{x}}), sempre identifique os níveis (aqui: \sqrt{x}, 2(\cdot), e^{(\cdot)}, \operatorname{sen}(\cdot)) e aplique a regra da cadeia de dentro para fora, multiplicando as derivadas. Verifique o domínio — no exame pode ser pedido explicitamente.

Resposta

h'(x)=\frac{e^{2\sqrt{x}}\cos\!\bigl(e^{2\sqrt{x}}\bigr)}{\sqrt{x}},\qquad x>0.

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