Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=x^{3} \cdot e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função \,f(x)=x^{3}\cdot e^{-2x}\,.
Informações fornecidas:
  • A função dada é \,f(x)=x^{3}\cdot e^{-2x}\,.
  • A pergunta é: encontrar \,f'(x)\, (a derivada de \,f\, em função de \,x).

Passo 2

Escolha do método e definição das partes (sem pular etapas). Aqui temos um produto de duas funções: uma função polinomial \,x^{3}\, e uma função exponencial \,e^{-2x}\,. Para derivar um produto, usamos a regra do produto. A regra do produto diz o seguinte:
(uv)' = u'v + uv',
onde \,u=u(x)\, e \,v=v(x)\, são funções de \,x, e \,u' e \,v' são as derivadas de \,u e \,v respectivamente.
Definimos explicitamente:
u(x) = x^{3},\qquad v(x) = e^{-2x}.

Passo 3

Derivando \,u(x)=x^{3}\, usando a regra do poder (power rule). A regra do poder afirma que:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},
onde \,n\in\mathbb{R}\, é a potência (aqui \,n=3). Aplicando:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
Explicando de forma didática: pegue o expoente 3, multiplica a função por 3 e diminui o expoente em uma unidade, ficando x^{2}.

Passo 4

Derivando \,v(x)=e^{-2x}\, usando a regra da cadeia. Primeiro, a derivada da função exponencial composta \,e^{g(x)}\, vale
\frac{d}{dx}\bigl(e^{g(x)}\bigr)=g'(x)\,e^{g(x)},
onde \,g(x)\, é a função interna. Aqui escolhemos \,g(x)=-2x. Calculamos a derivada de \,g\,:
g'(x)=\frac{d}{dx}(-2x)=-2.
Aplicando a fórmula:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}\bigr)=(-2)\,e^{-2x}=-2e^{-2x}.
Explicando: a derivada do expoente traz um fator -2 multiplicando a própria exponencial.

Passo 5

Aplicando a regra do produto com \,u',u,v',v\, que já temos. Substituindo na fórmula (uv)'=u'v+uv':
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Agora substituímos:
f'(x)=\bigl(3x^{2}\bigr)\,e^{-2x}+x^{3}\,\bigl(-2e^{-2x}\bigr).
Escrevendo de forma limpa:
f'(x)=3x^{2}e^{-2x}-2x^{3}e^{-2x}.

Passo 6

Fatorando a expressão para uma forma mais compacta (útil na prova e para evitar erros). Ambas as parcelas têm o fator comum \,e^{-2x}x^{2}\,. Colocando em evidência:
f'(x)=e^{-2x}x^{2}\bigl(3-2x\bigr).
Essa é uma forma simplificada e bem prática: mostra claramente o sinal e os fatores críticos (por exemplo, zeros de f' aparecem quando x=0 ou x=\tfrac{3}{2}).

Passo 7

Dicas finais rápidas para a prova (pequeno conselho amigo):
  • Nunca esqueça do fator vindo da regra da cadeia ao derivar e^{g(x)} (aqui foi -2). Esse é o erro mais comum.
  • Se restar dúvida, compute separadamente u' e v' e depois junte pela regra do produto — assim costuma ser mais seguro.
    Força aí! Respira fundo e pratique mais alguns produtos com exponenciais — fica tranquilo, você pega o jeito rápido.

Resposta

f'(x)=e^{-2x}x^{2}\bigl(3-2x\bigr)

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