Calcule a derivada das seguintes funções:
g(t)=\left(\frac{4 t-1}{t^{2}+3}\right)^{2025}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(t)=\left(\frac{4t-1}{t^{2}+3}\right)^{2025}.
Informações dadas:
  • A função é uma potência de expoente \,2025.
  • A base da potência é a função racional \,u(t)=\dfrac{4t-1}{t^{2}+3}.
  • Objetivo: encontrar g'(t), a derivada de g em função de t.

Passo 2

Escolha do método: esta é uma composição de uma função potência com uma função racional. O método mais direto é aplicar a regra da cadeia para a potência e, para derivar a base racional, usar a regra do quociente. Em palavras: primeiro diferencio a potência em relação à sua base, depois multiplico pela derivada da base em relação a t.

Passo 3

Relembrando a regra da cadeia e a derivada da potência:
  • Se g(t)=f(u(t)) e f(u)=u^{n}, então a regra da cadeia dá
g'(t)=f'(u(t))\cdot u'(t).
  • Para f(u)=u^{n} vale
f'(u)=n\,u^{\,n-1},
onde n é uma constante (aqui n=2025) e u é a função interna (aqui u(t)=\dfrac{4t-1}{t^{2}+3}).
Aplicando isso à nossa função:
g'(t)=2025\left(\frac{4t-1}{t^{2}+3}\right)^{2024}\cdot u'(t),
onde ainda falta calcular u'(t).

Passo 4

Derivando a base u(t)=\dfrac{4t-1}{t^{2}+3} com a regra do quociente. A regra do quociente diz:
\text{Se }u(t)=\frac{p(t)}{q(t)},\quad\text{então }u'(t)=\frac{p'(t)q(t)-p(t)q'(t)}{[q(t)]^{2}},ã
onde p(t)=4t-1 e q(t)=t^{2}+3.
Calculemos as derivadas de p e q:
p'(t)=\frac{d}{dt}(4t-1)=4, \qquad q'(t)=\frac{d}{dt}(t^{2}+3)=2t.
Agora aplicando a fórmula do quociente:
u'(t)=\frac{4\,(t^{2}+3)-(4t-1)\,(2t)}{(t^{2}+3)^{2}}.

Passo 5

Simplificando o numerador de u'(t):
\begin{aligned} \text{numerador} &= 4t^{2}+12 - (8t^{2}-2t)\\\ &=4t^{2}+12-8t^{2}+2t\\\ &=-4t^{2}+2t+12. \end{aligned}
Portanto
u'(t)=\frac{-4t^{2}+2t+12}{(t^{2}+3)^{2}}.

Passo 6

Voltando para g'(t) e substituindo u'(t) na expressão obtida no Passo 3:
g'(t)=2025\left(\frac{4t-1}{t^{2}+3}\right)^{2024}\cdot\frac{-4t^{2}+2t+12}{(t^{2}+3)^{2}}.
Agora juntamos as potências de (t^{2}+3). A expressão \left(\dfrac{4t-1}{t^{2}+3}\right)^{2024} é igual a \dfrac{(4t-1)^{2024}}{(t^{2}+3)^{2024}}. Multiplicando pelo denominador extra (t^{2}+3)^{2} obtemos (t^{2}+3)^{2026} no denominador total. Assim:
g'(t)=\frac{2025\,(4t-1)^{2024}\,(-4t^{2}+2t+12)}{(t^{2}+3)^{2026}}.

Passo 7

Observação final — opção de fatoração do numerador: pode-se fatorar -4t^{2}+2t+12 = -2(2t^{2}-t-6) = -2(2t+3)(t-2), se desejar expressar a resposta em forma fatorada. Isso não altera a forma da derivada, apenas apresenta o polinômio fatorado.

Resposta

\displaystyle g'(t)=\frac{2025\,(4t-1)^{2024}\,(-4t^{2}+2t+12)}{(t^{2}+3)^{2026}}

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