Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é uma potência de expoente
. - A base da potência é a função racional
. - Objetivo: encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Escolha do método: esta é uma composição de uma função potência com uma função racional. O método mais direto é aplicar a regra da cadeia para a potência e, para derivar a base racional, usar a regra do quociente. Em palavras: primeiro diferencio a potência em relação à sua base, depois multiplico pela derivada da base em relação a
.
Passo 3
Relembrando a regra da cadeia e a derivada da potência:
- Se
e , então a regra da cadeia dá
- Para
vale
onde
é uma constante (aqui
) e
é a função interna (aqui
).
Aplicando isso à nossa função:
onde ainda falta calcular
.
Passo 4
Derivando a base
com a regra do quociente. A regra do quociente diz:
onde
e
.
Calculemos as derivadas de
e
:
Agora aplicando a fórmula do quociente:
Passo 5
Simplificando o numerador de
:
Portanto
Passo 6
Voltando para
e substituindo
na expressão obtida no Passo 3:
Agora juntamos as potências de
. A expressão
é igual a
. Multiplicando pelo denominador extra
obtemos
no denominador total. Assim:
Passo 7
Observação final — opção de fatoração do numerador: pode-se fatorar
, se desejar expressar a resposta em forma fatorada. Isso não altera a forma da derivada, apenas apresenta o polinômio fatorado.