Calcule a derivada das seguintes funções:
(j) f(t)=t^{3}-t^{2} \sin (t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=t^{3}-t^{2}\sin(t).
Aqui vamos usar a regra da soma (ou diferença), a regra da potência e a regra do produto.

Passo 2

Derivando o primeiro termo t^{3} pela regra da potência, temos
\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2}.

Passo 3

Para o segundo termo -\,t^{2}\sin(t) aplicamos a regra do produto em g(t)=t^{2} e h(t)=\sin(t):
g'(t)=2t, \quad h'(t)=\cos(t),
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\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\sin(t)\bigr) = g'(t)\,h(t)+g(t)\,h'(t) =2t\sin(t)+t^{2}\cos(t).
Como há um sinal negativo à frente,
\frac{d}{dt}\bigl(-t^{2}\sin(t)\bigr) = -\bigl(2t\sin(t)+t^{2}\cos(t)\bigr).

Passo 4

Somando as derivadas dos dois termos, obtemos
f'(t) =3t^{2} -\bigl(2t\sin(t)+t^{2}\cos(t)\bigr) =3t^{2}-2t\sin(t)-t^{2}\cos(t).

Resposta

f'(t)=3t^{2}-2t\sin(t)-t^{2}\cos(t).

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