Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=integral-infty^e^x 3-2 t^41+t^8 d t

Passo 1

A função que temos é f(x)=integral-infty^e^x 3-2t^41+t^8,dt. Isso cai no conteúdo de derivada de integral com limite dependente de x, então vamos usar o teorema fundamental do cálculo (parte 2) e a regra da cadeia.

Passo 2

O teorema fundamental do cálculo nos diz que, se F(x)=integrala^g(x) f(t),dt, então F'(x)=fl(g(x)r)cdot g'(x). Aqui identificamos
f(t)=3-2t^41+t^8
e
g(x)=e^x.
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f'(x)=3-2,(e^x)^41+(e^x)^8;cdot;(e^x)'

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para g(x)=e^x. Sabemos que
(e^x)'=e^x

Passo 4

Substituindo em f'(x) e simplificando (e^x)^4=e^4x e (e^x)^8=e^8x, chegamos a
f'(x)=e^xcdot3-2e^4x1+e^8x

Resposta

f'(x)=e^x,3-2e^4x1+e^8x

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