Calcule o limite, caso exista, ou especifique porque não existe. Não é permitido usar derivada.
lim x -infty 12-xraiz9 x^2-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede o limite limxto -infty12 - xraiz9x^2 - 2x + 1. O conteúdo é limites envolvendo raiz quadrada e comportamentos infinitos, e vamos precisar usar fatoração dentro da raiz e a propriedade de valor absoluto.

Passo 2

Para lidar com a raiz no denominador, fatoramos x^2 dentro dela:
raiz9x^2 - 2x + 1 = raizx^2l(9 - 2x + 1x^2r)
Usamos raizx^2=|x|, obtendo
raiz9x^2 - 2x + 1 = |x|raiz9 - tfrac2x + tfrac1x^2

Passo 3

Como estamos no caso xto -infty, temos x<0 para valores muito grandes em módulo. Logo |x| = -x. Substituindo,
raiz9x^2 - 2x + 1 = -xraiz9 - tfrac2x + tfrac1x^2

Passo 4

Agora escrevemos a fração original usando esse resultado:
12 - xraiz9x^2 - 2x + 1 = 12 - x-xraiz9 - tfrac2x + tfrac1x^2
Fatoramos -x) no numerador também: 12 - x = -xl(1 - tfrac12xr). Então
12 - x-xraiz9 - tfrac2x + tfrac1x^2 = -xl(1 - tfrac12xr)-xraiz9 - tfrac2x + tfrac1x^2 = 1 - tfrac12xraiz9 - tfrac2x + tfrac1x^2

Passo 5

Por fim, tomamos o limite quando xto -infty. Como tfrac12xto 0, tfrac2xto0 e tfrac1x^2to0, temos
limxto -infty1 - tfrac12xraiz9 - tfrac2x + tfrac1x^2 = 1 - 0raiz9 - 0 + 0 = 13

Resposta

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