Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} calcule também a segunda derivada:
g(x)=\operatorname{cossec}\left(x^{2}\right)-\operatorname{cotg}\left(e^{x}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de informação.
  • Foi dada a função
    g(x)=\operatorname{cossec}\!\left(x^{2}\right)-\operatorname{cotg}\!\left(e^{x}\right).
    Para ficar com notação padrão em TeX, vou escrever isso como
    \;g(x)=\csc\!\bigl(x^{2}\bigr)-\cot\!\bigl(e^{x}\bigr).
  • O pedido: calcular a derivada (primeira derivada) de g. Como o enunciado diz que nos itens a, b, c calcule também a segunda derivada, aqui também vou calcular a segunda derivada de g (ou seja, g'(x) e g''(x)).

Passo 2

Revisão das fórmulas que vou usar (com explicação didática).
  • Derivada da cossecante (cossecante = cosecant): para uma função u(x),
    \frac{d}{dx}\csc\bigl(u(x)\bigr) = -\csc\bigl(u(x)\bigr)\cot\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
    Interpretação: a derivada de \csc é -\csc\cot multiplicada pela derivada da parte interna u(x). É a regra da cadeia: primeiro derivamos a função externa ( \csc) avaliando em u, depois multiplicamos pela derivada da interna u'(x).
  • Derivada da cotangente: para u(x),
    \frac{d}{dx}\cot\bigl(u(x)\bigr) = -\csc^{2}\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
    Observação: \cot' = -\csc^{2}. Novamente aplica-se a regra da cadeia multiplicando por u'(x).
  • Regra do produto e da soma: se uma função é soma de termos, derivamos termo a termo; se um termo é produto p(x)q(x), usamos
    (p q)' = p' q + p q'.
Vou aplicar essas fórmulas com u(x)=x^{2} e u(x)=e^{x} conforme cada termo.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \csc\bigl(x^{2}\bigr).
  • Identifico a parte externa: \csc(\cdot). A parte interna é u(x)=x^{2}.
  • Calculando u'(x): \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • Aplicando a fórmula da derivada da cossecante com regra da cadeia: \frac{d}{dx}\csc\bigl(x^{2}\bigr) = -\csc\bigl(x^{2}\bigr)\cot\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x.
  • Simplificando a constante multiplicativa: \frac{d}{dx}\csc\bigl(x^{2}\bigr) = -2x\,\csc\bigl(x^{2}\bigr)\cot\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 4

Derivada do segundo termo -\cot\bigl(e^{x}\bigr).
  • Primeiro considero h(x)=\cot\bigl(e^{x}\bigr). A parte externa é \cot(\cdot) e a interna v(x)=e^{x}.
  • Calculando v'(x): \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Derivada de \cot(v): \dfrac{d}{dx}\cot\bigl(e^{x}\bigr) = -\csc^{2}\bigl(e^{x}\bigr)\cdot e^{x}.
  • Como o termo no g(x) aparece com sinal negativo, \dfrac{d}{dx}\bigl(-\cot(e^{x})\bigr) = -\bigl(-\csc^{2}(e^{x})e^{x}\bigr)=+e^{x}\csc^{2}\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 5

Juntando os dois resultados para obter g'(x).
  • Somando as derivadas dos termos: g'(x) = -2x\,\csc\bigl(x^{2}\bigr)\cot\bigl(x^{2}\bigr) \;+\; e^{x}\csc^{2}\bigl(e^{x}\bigr).
Antes de ir para a segunda derivada, recapitulação rápida: o primeiro termo veio da regra da cadeia aplicada em \csc(x^{2}) (por isso o fator 2x); o segundo termo veio da derivada de -\cot(e^{x}), e o sinal virou positivo porque \cot' já tem um sinal negativo.

Passo 6

Preparação para calcular g''(x): separar em duas parcelas e aplicar regra do produto quando necessário.
  • Escrevo g'(x) como soma de duas parcelas: g'(x)=A(x)+B(x),com A(x)=-2x\,\csc\bigl(x^{2}\bigr)\cot\bigl(x^{2}\bigr), \qquad B(x)=e^{x}\csc^{2}\bigl(e^{x}\bigr).
  • Vou derivar A(x) e B(x) separadamente e somar: g''(x)=A'(x)+B'(x).

Passo 7

Cálculo de A'(x). (Aqui uso a regra do produto entre -2x e \csc(x^{2})\cot(x^{2}).)
  • Defino p(x)=-2x e q(x)=\csc\bigl(x^{2}\bigr)\cot\bigl(x^{2}\bigr).
  • Então p'(x)=-2.
  • Agora calculo q'(x). Trato primeiro q como função de t=x^{2}: q(t)=\csc(t)\cot(t).
    Derivo em relação a t usando produto: \frac{dq}{dt} = (\csc t)'\cot t + \csc t\cdot(\cot t)'.Substituindo as derivadas básicas: (\csc t)' = -\csc t\cot t,\qquad (\cot t)' = -\csc^{2} t,obtemos \frac{dq}{dt} = -\csc t\cot t\cdot\cot t + \csc t\cdot\bigl(-\csc^{2}t\bigr) = -\csc t\bigl(\cot^{2}t+\csc^{2}t\bigr).
  • Agora volto para x: como t=x^{2}, pela regra da cadeia q'(x) = \frac{dq}{dt}\cdot\frac{dt}{dx} = -\csc\bigl(x^{2}\bigr)\bigl(\cot^{2}\bigl(x^{2}\bigr)+\csc^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\bigr)\cdot 2x.Ou seja, q'(x) = -2x\,\csc\bigl(x^{2}\bigr)\bigl(\cot^{2}\bigl(x^{2}\bigr)+\csc^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\bigr).
  • Aplicando a regra do produto para A(x)=p(x)q(x): A'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).Substituindo p',p,q,q': A'(x) = -2\cdot\csc\bigl(x^{2}\bigr)\cot\bigl(x^{2}\bigr) +(-2x)\cdot\Bigl(-2x\,\csc\bigl(x^{2}\bigr)\bigl(\cot^{2}\bigl(x^{2}\bigr)+\csc^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\bigr)\Bigr).
  • Simplificando o segundo termo do lado direito: A'(x) = -2\,\csc\bigl(x^{2}\bigr)\cot\bigl(x^{2}\bigr) +4x^{2}\,\csc\bigl(x^{2}\bigr)\bigl(\cot^{2}\bigl(x^{2}\bigr)+\csc^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\bigr).
  • Expandindo para ficar explícito (opcional, mas ajuda na leitura): A'(x) = -2\,\csc\bigl(x^{2}\bigr)\cot\bigl(x^{2}\bigr) +4x^{2}\,\csc\bigl(x^{2}\bigr)\cot^{2}\bigl(x^{2}\bigr) +4x^{2}\,\csc^{3}\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 8

Cálculo de B'(x) com produto e cadeia.
  • Lembre que B(x)=e^{x}\csc^{2}\bigl(e^{x}\bigr). É produto de r(x)=e^{x} e s(x)=\csc^{2}\bigl(e^{x}\bigr).
  • r'(x)=e^{x}.
  • Para s(x) uso cadeia: primeiro derivada em relação a u=e^{x}: \frac{d}{du}\bigl(\csc^{2}u\bigr)=2\csc u\cdot(\csc u)' = 2\csc u\cdot\bigl(-\csc u\cot u\bigr) = -2\csc^{2}u\cot u.Depois multiplico por u'(x)=e^{x}. Assim s'(x) = -2e^{x}\,\csc^{2}\bigl(e^{x}\bigr)\cot\bigl(e^{x}\bigr).
  • Agora aplico a regra do produto: B'(x)=r'(x)s(x)+r(x)s'(x) = e^{x}\csc^{2}\bigl(e^{x}\bigr) + e^{x}\cdot\bigl(-2e^{x}\csc^{2}\bigl(e^{x}\bigr)\cot\bigl(e^{x}\bigr)\bigr).
  • Simplificando: B'(x)= e^{x}\csc^{2}\bigl(e^{x}\bigr) - 2e^{2x}\csc^{2}\bigl(e^{x}\bigr)\cot\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 9

Somando A'(x) e B'(x) para obter g''(x).
  • Reunindo os resultados obtidos: \begin{aligned} g''(x) &= A'(x)+B'(x) \\\ &= \bigl(-2\,\csc(x^{2})\cot(x^{2}) +4x^{2}\csc(x^{2})\cot^{2}(x^{2}) +4x^{2}\csc^{3}(x^{2})\bigr) \\\ &\quad +\bigl(e^{x}\csc^{2}(e^{x}) - 2e^{2x}\csc^{2}(e^{x})\cot(e^{x})\bigr). \end{aligned}
  • Essa expressão já está explicitada termo a termo; pode-se deixar assim ou agrupar fatores em comum (por exemplo fatorar \csc(x^{2}) no bloco referente a x^{2}), mas não é necessário para a resposta final.

Resposta

g'(x)=-2x\,\csc\bigl(x^{2}\bigr)\cot\bigl(x^{2}\bigr)+e^{x}\csc^{2}\bigl(e^{x}\bigr)
g''(x)=-2\,\csc\bigl(x^{2}\bigr)\cot\bigl(x^{2}\bigr)+4x^{2}\csc\bigl(x^{2}\bigr)\cot^{2}\bigl(x^{2}\bigr)+4x^{2}\csc^{3}\bigl(x^{2}\bigr)+e^{x}\csc^{2}\bigl(e^{x}\bigr)-2e^{2x}\csc^{2}\bigl(e^{x}\bigr)\cot\bigl(e^{x}\bigr)

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