Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a segunda derivada:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de informação.
- Foi dada a função
.
Para ficar com notação padrão em TeX, vou escrever isso como
- O pedido: calcular a derivada (primeira derivada) de
. Como o enunciado diz que nos itens a, b, c calcule também a segunda derivada, aqui também vou calcular a segunda derivada de (ou seja, e ).
Passo 2
Revisão das fórmulas que vou usar (com explicação didática).
-
Derivada da cossecante (cossecante = cosecant): para uma função
, Interpretação: a derivada deé multiplicada pela derivada da parte interna . É a regra da cadeia: primeiro derivamos a função externa ( ) avaliando em , depois multiplicamos pela derivada da interna . -
Derivada da cotangente: para
, Observação:. Novamente aplica-se a regra da cadeia multiplicando por . -
Regra do produto e da soma: se uma função é soma de termos, derivamos termo a termo; se um termo é produto
, usamos
Vou aplicar essas fórmulas com
e
conforme cada termo.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
- Identifico a parte externa:
. A parte interna é . - Calculando
: . - Aplicando a fórmula da derivada da cossecante com regra da cadeia:
- Simplificando a constante multiplicativa:
Passo 4
Derivada do segundo termo
.
- Primeiro considero
. A parte externa é e a interna . - Calculando
: . - Derivada de
: - Como o termo no
aparece com sinal negativo,
Passo 5
Juntando os dois resultados para obter
.
- Somando as derivadas dos termos:
Antes de ir para a segunda derivada, recapitulação rápida: o primeiro termo veio da regra da cadeia aplicada em
(por isso o fator
); o segundo termo veio da derivada de
, e o sinal virou positivo porque
já tem um sinal negativo.
Passo 6
Preparação para calcular
: separar em duas parcelas e aplicar regra do produto quando necessário.
- Escrevo
como soma de duas parcelas: com - Vou derivar
e separadamente e somar: .
Passo 7
Cálculo de
. (Aqui uso a regra do produto entre
e
.)
- Defino
e . - Então
. - Agora calculo
. Trato primeiro como função de : .
Derivo em relação ausando produto: Substituindo as derivadas básicas: obtemos - Agora volto para
: como , pela regra da cadeia Ou seja, - Aplicando a regra do produto para
: Substituindo : - Simplificando o segundo termo do lado direito:
- Expandindo para ficar explícito (opcional, mas ajuda na leitura):
Passo 8
Cálculo de
com produto e cadeia.
- Lembre que
. É produto de e . -
. - Para
uso cadeia: primeiro derivada em relação a : Depois multiplico por . Assim - Agora aplico a regra do produto:
- Simplificando:
Passo 9
Somando
e
para obter
.
- Reunindo os resultados obtidos:
- Essa expressão já está explicitada termo a termo; pode-se deixar assim ou agrupar fatores em comum (por exemplo fatorar
no bloco referente a ), mas não é necessário para a resposta final.