Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a segunda derivada:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- calcular a derivada primeira
; - calcular a derivada segunda
.
Informações relevantes que temos:
- A expressão
está definida para (pois aparece no denominador). - A função composta
está bem definida para todo ; aqui é base positiva constante e é o expoente variável. - Logo o domínio efetivo da função escrita é
(pela presença da raiz no primeiro termo).
Passo 2
Vou simplificar a parte algébrica do enunciado antes de derivar (isso facilita muito os passos seguintes). Note que:
Portanto podemos reescrever a função como
Essa simplificação apenas usa regras de potências básicas:
.
Passo 3
Derivando o primeiro termo
.
Regra usada: regra da potência. Para
com
constante, vale
Aqui
, pois
. Assim
Expliquei:
.
Passo 4
Derivando o segundo termo
.
Regra usada: derivada de uma exponencial com base constante
e expoente
é
Aqui
e
. Calculando
pelo regra da derivada do cosseno:
Aplicando a fórmula da exponencial composta:
Passo 5
Juntando os resultados dos Passos 3 e 4, obtemos a derivada primeira:
Lembrete: essa expressão vale para
por causa do primeiro termo.
Passo 6
Agora calculamos a derivada segunda
. Vou derivar termo a termo a expressão de
:
Primeiro termo: derivada de
.
Usando a regra da potência:
Usando a regra da potência:
Em forma não fracionária:
Passo 7
Segundo termo: derivada de
.
Para organizar, escrevo esse termo como
Aqui
é uma constante multiplicativa. Vou derivar a parte
usando a regra do produto.
Se
e
, então
Calculamos
e
:
- Já vimos que
. - E
.
Logo
Simplificando o primeiro produto:
Agora multiplico por
(a constante que estava em
):
Distribuindo o
:
Posso fatorar
para compactar:
Passo 8
Agora somo as derivadas dos dois termos para obter
:
Se preferir escrever sem potências negativas:
Essa é a forma final da segunda derivada; válida para
.