Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} calcule também a segunda derivada:
y=\frac{x}{\sqrt{x}}+7^{\cos (x)}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{x}{\sqrt{x}}+7^{\cos(x)}
e pede:
  • calcular a derivada primeira y';
  • calcular a derivada segunda y''.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão \dfrac{x}{\sqrt{x}} está definida para x>0 (pois aparece \sqrt{x} no denominador).
  • A função composta 7^{\cos(x)} está bem definida para todo x; aqui 7 é base positiva constante e \cos(x) é o expoente variável.
  • Logo o domínio efetivo da função escrita é x>0 (pela presença da raiz no primeiro termo).

Passo 2

Vou simplificar a parte algébrica do enunciado antes de derivar (isso facilita muito os passos seguintes). Note que:
\frac{x}{\sqrt{x}} = x\cdot x^{-1/2} = x^{1-1/2}=x^{1/2}=\sqrt{x}.
Portanto podemos reescrever a função como
y=\sqrt{x}+7^{\cos(x)}.
Essa simplificação apenas usa regras de potências básicas: x/x^{1/2}=x^{1-1/2}=x^{1/2}.

Passo 3

Derivando o primeiro termo \sqrt{x}.
Regra usada: regra da potência. Para x^{n} com n constante, vale
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, pois \sqrt{x}=x^{1/2}. Assim
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{1/2-1}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Expliquei: x^{-1/2}=1/x^{1/2}=1/\sqrt{x}.

Passo 4

Derivando o segundo termo 7^{\cos(x)}.
Regra usada: derivada de uma exponencial com base constante a>0 e expoente u(x) é
\frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\ln(a)\cdot u'(x).
Aqui a=7 e u(x)=\cos(x). Calculando u'(x) pelo regra da derivada do cosseno:
\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Aplicando a fórmula da exponencial composta:
\frac{d}{dx}7^{\cos(x)}=7^{\cos(x)}\ln(7)\cdot(-\sin(x))=-7^{\cos(x)}\ln(7)\sin(x).

Passo 5

Juntando os resultados dos Passos 3 e 4, obtemos a derivada primeira:
y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}-7^{\cos(x)}\ln(7)\sin(x).
Lembrete: essa expressão vale para x>0 por causa do primeiro termo.

Passo 6

Agora calculamos a derivada segunda y''. Vou derivar termo a termo a expressão de y':
y'=\frac{1}{2}x^{-1/2}-7^{\cos(x)}\ln(7)\sin(x).
Primeiro termo: derivada de \dfrac{1}{2}x^{-1/2}.
Usando a regra da potência:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^{-1/2}\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2}=-\frac{1}{4}x^{-3/2}.
Em forma não fracionária:
-\frac{1}{4}x^{-3/2}=-\frac{1}{4x^{3/2}}=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}.

Passo 7

Segundo termo: derivada de -7^{\cos(x)}\ln(7)\sin(x).
Para organizar, escrevo esse termo como
T(x)=-\ln(7)\cdot\big(7^{\cos(x)}\sin(x)\big).
Aqui -\ln(7) é uma constante multiplicativa. Vou derivar a parte 7^{\cos(x)}\sin(x) usando a regra do produto.
Se f(x)=7^{\cos(x)} e g(x)=\sin(x), então
\frac{d}{dx}\big(fg\big)=f' g + f g'.
Calculamos f' e g':
  • Já vimos que f'=\dfrac{d}{dx}7^{\cos(x)}=-7^{\cos(x)}\ln(7)\sin(x).
  • E g'=\dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
Logo
\frac{d}{dx}\big(7^{\cos(x)}\sin(x)\big)=\big(-7^{\cos(x)}\ln(7)\sin(x)\big)\sin(x)+7^{\cos(x)}\cos(x).
Simplificando o primeiro produto:
=-7^{\cos(x)}\ln(7)\sin^{2}(x)+7^{\cos(x)}\cos(x).
Agora multiplico por -\ln(7) (a constante que estava em T(x)):
T'(x)=-\ln(7)\cdot\big[-7^{\cos(x)}\ln(7)\sin^{2}(x)+7^{\cos(x)}\cos(x)\big].
Distribuindo o -\ln(7):
T'(x)=7^{\cos(x)}(\ln(7))^{2}\sin^{2}(x)-7^{\cos(x)}\ln(7)\cos(x).
Posso fatorar 7^{\cos(x)} para compactar:
T'(x)=7^{\cos(x)}\Big[(\ln(7))^{2}\sin^{2}(x)-\ln(7)\cos(x)\Big].

Passo 8

Agora somo as derivadas dos dois termos para obter y'':
y''=-\frac{1}{4}x^{-3/2}+7^{\cos(x)}\Big[(\ln(7))^{2}\sin^{2}(x)-\ln(7)\cos(x)\Big].
Se preferir escrever sem potências negativas:
y''=-\frac{1}{4x^{3/2}}+7^{\cos(x)}\Big[(\ln(7))^{2}\sin^{2}(x)-\ln(7)\cos(x)\Big].
Essa é a forma final da segunda derivada; válida para x>0.

Resposta

y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}-7^{\cos(x)}\ln(7)\sin(x)
y''=-\frac{1}{4x^{3/2}}+7^{\cos(x)}\Big[(\ln(7))^{2}\sin^{2}(x)-\ln(7)\cos(x)\Big]

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