Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a segunda derivada:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu calcule a derivada primeira
e a derivada segunda
. Vou assumir que
é uma constante (ou seja, não depende de
).
Passo 2
Vamos lembrar duas regras essenciais que usarei (explicadas de forma bem prática).
Regra da cadeia (intuição): se uma função é composta, isto é,
, então para tirar a derivada a gente deriva a função externa
em relação a
e multiplica pela derivada de
em relação a
. Em fórmulas:
Exemplo simples: se
e
, então
.
Regra do produto: se
então
Usarei essa regra para derivar produtos que aparecerem.
Passo 3
Identifico a composição na função dada:
Primeiro calculemos
. Como
é constante em relação a
,
Agora aplico a regra da cadeia para obter
. A derivada de
em relação a
é
. Portanto:
Substituindo
e
,
Passo 4
Agora vamos para a segunda derivada
. Escrevo
de forma que fique claro o produto a derivar:
Aqui temos um produto
com
e
. Vou aplicar a regra do produto.
Calculemos as derivadas parciais:
Para
uso novamente a regra da cadeia: derivada de
é
, então
Já sabemos que
, então
Agora aplico a regra do produto:
Substituindo as expressões:
Simplificando o segundo termo:
Portanto
Se quiser, podemos fatorar um pouco:
mas a forma expandida anterior também está ótima.