Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} calcule também a segunda derivada:
f(x)=\cos \left(a^{3}+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\cos\!\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr)
e pede que eu calcule a derivada primeira f'(x) e a derivada segunda f''(x). Vou assumir que \,a\in\mathbb{R}\, é uma constante (ou seja, não depende de x).

Passo 2

Vamos lembrar duas regras essenciais que usarei (explicadas de forma bem prática).
Regra da cadeia (intuição): se uma função é composta, isto é, f(x)=F\bigl(u(x)\bigr), então para tirar a derivada a gente deriva a função externa F em relação a u e multiplica pela derivada de u em relação a x. Em fórmulas:
\frac{d}{dx}F\bigl(u(x)\bigr)=F'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Exemplo simples: se F(t)=\cos t e u(x)=x^3, então \dfrac{d}{dx}\cos(x^3)=-\sin(x^3)\cdot 3x^2.
Regra do produto: se g(x)=v(x)\,w(x) então
g'(x)=v'(x)\,w(x)+v(x)\,w'(x).
Usarei essa regra para derivar produtos que aparecerem.

Passo 3

Identifico a composição na função dada:
f(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\quad\text{com}\quad u(x)=a^{3}+x^{3}.
Primeiro calculemos u'(x). Como a^{3} é constante em relação a x,
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr)=0+3x^{2}=3x^{2}.
Agora aplico a regra da cadeia para obter f'(x). A derivada de \cos t em relação a t é -\sin t. Portanto:
f'(x)=\frac{d}{dx}\cos\bigl(u(x)\bigr)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x),
f'(x)=-\sin\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr)\cdot 3x^{2}=-3x^{2}\,\sin\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr).

Passo 4

Agora vamos para a segunda derivada f''(x)=\dfrac{d}{dx}f'(x). Escrevo f'(x) de forma que fique claro o produto a derivar:
f'(x)=-3x^{2}\cdot \sin\bigl(u(x)\bigr),\qquad u(x)=a^{3}+x^{3}.
Aqui temos um produto v(x)w(x) com v(x)=-3x^{2} e w(x)=\sin\bigl(u(x)\bigr). Vou aplicar a regra do produto.
Calculemos as derivadas parciais:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2}\bigr)=-6x.
Para w'(x) uso novamente a regra da cadeia: derivada de \sin t é \cos t, então
w'(x)=\frac{d}{dx}\sin\bigl(u(x)\bigr)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Já sabemos que u'(x)=3x^{2}, então
w'(x)=\cos\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr)\cdot 3x^{2}=3x^{2}\,\cos\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr).
Agora aplico a regra do produto:
f''(x)=v'(x)w(x)+v(x)w'(x).
Substituindo as expressões:
f''(x)=(-6x)\,\sin\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr)+(-3x^{2})\cdot\bigl(3x^{2}\,\cos\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr)\bigr).
Simplificando o segundo termo:
(-3x^{2})\cdot(3x^{2}\cos(\cdots))=-9x^{4}\cos\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr).
Portanto
f''(x)=-6x\,\sin\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr)-9x^{4}\,\cos\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr).
Se quiser, podemos fatorar um pouco:
f''(x)=-3x\Bigl(2\sin\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr)+3x^{3}\cos\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr)\Bigr),
mas a forma expandida anterior também está ótima.

Resposta

f'(x)=-3x^{2}\,\sin\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr)\newline
f''(x)=-6x\,\sin\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr)-9x^{4}\,\cos\bigl(a^{3}+x^{3}\bigr)

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