Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada
dizemos que a derivada segunda de
é, por definição, a derivada de
, e denotamos por
. Isto é:
. Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada primeira. Vou também calcular a derivada segunda (porque normalmente nos exercícios com
isso é pedido e é útil praticar). As informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é
. - A expressão interna (a “parte de dentro” do arcseno) é
.
O que será calculado: -
. -
.
Passo 2
Lembrete / fórmula importante (a “aula” rápida do que vamos usar).
- A derivada da função arco-seno composta é dada pela regra da cadeia. Primeiro a fórmula básica para a função
(quando é uma variável):
- A regra da cadeia diz: se
então
Explicando: primeiro derivamos a função exterior
em relação à sua variável
, depois multiplicamos pela derivada da variável interna
. É como “descascar a cebola” em duas etapas: fora e dentro.
Passo 3
Identificar a função interna e sua derivada.
- Tomamos
. - Agora calculamos
. Como a derivada de é e a derivada de constante é , obtemos
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para obter a derivada primeira.
- Usando a fórmula da derivada do
e multiplicando por , temos
- Podemos escrever de forma mais simples:
- Observação sobre domínio: essa expressão só faz sentido (sem divisão por zero e dentro do domínio do arcseno) quando
; nos pontos onde o denominador é zero e a derivada explode.
Passo 5
Preparar a derivada segunda: estratégia e regra usada.
- A derivada segunda é
. Temos . - Para diferenciar isso vamos usar a regra da cadeia novamente. Trata-se de derivar uma constante multiplicada por uma potência: se
, então
- Agora calculamos a derivada da expressão interna
.
Passo 6
Calcular a derivada da expressão interna e montar
.
- Primeiro,
. - Derivando
: aplicando a regra da cadeia ou a regra do poder com coeficiente, . - Portanto
. - Substituindo em
:
- Simplificando os sinais e constantes:
. Então
- Como
, temos
- Portanto, multiplicando,
- Em forma de fração:
Passo 7
Resumo e comentários finais rápidos (dica de prova).
- Resultado final: a primeira derivada sai direto aplicando a regra da cadeia à fórmula de
. Para a segunda derivada, reescreva como uma constante vezes uma potência negativa e aplique a regra da cadeia novamente com cuidado ao derivar a expressão interna. - Lembre-se de mencionar domínio nas provas:
é a região onde as fórmulas das derivadas são válidas sem singularidade.