Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{c}, \mathrm{e}, \mathrm{g}, \mathrm{k} calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada y=f(x) dizemos que a derivada segunda de f é, por definição, a derivada de f^{\prime}, e denotamos por f^{\prime \prime}. Isto é: f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}(x). Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
y=\operatorname{arcsen}(2 x+1)

Passo 1

O enunciado dá a função y=\operatorname{arcsen}(2x+1) e pede a derivada primeira. Vou também calcular a derivada segunda (porque normalmente nos exercícios com \operatorname{arcsen} isso é pedido e é útil praticar). As informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é y=\operatorname{arcsen}(2x+1).
  • A expressão interna (a “parte de dentro” do arcseno) é u(x)=2x+1.
    O que será calculado:
  • \;y'=\dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen}(2x+1)\bigr).
  • \;y''=\dfrac{d}{dx}\bigl(y'(x)\bigr).

Passo 2

Lembrete / fórmula importante (a “aula” rápida do que vamos usar).
  • A derivada da função arco-seno composta é dada pela regra da cadeia. Primeiro a fórmula básica para a função \operatorname{arcsen}(t) (quando t é uma variável):
\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{arcsen}(t)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}},\qquad \text{para }|t|<1.
  • A regra da cadeia diz: se y=\operatorname{arcsen}(u(x)) então
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arcsen}(u)\bigr)\cdot\frac{du}{dx}.
Explicando: primeiro derivamos a função exterior \operatorname{arcsen} em relação à sua variável u, depois multiplicamos pela derivada da variável interna u(x). É como “descascar a cebola” em duas etapas: fora e dentro.

Passo 3

Identificar a função interna e sua derivada.
  • Tomamos u(x)=2x+1.
  • Agora calculamos u'(x)=\dfrac{d}{dx}(2x+1). Como a derivada de 2x é 2 e a derivada de constante é 0, obtemos
u'(x)=2.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para obter a derivada primeira.
  • Usando a fórmula da derivada do \operatorname{arcsen} e multiplicando por u'(x), temos
y'=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen}(2x+1)\bigr) =\frac{1}{\sqrt{1-(2x+1)^{2}}}\cdot 2.
  • Podemos escrever de forma mais simples:
y'(x)=\frac{2}{\sqrt{1-(2x+1)^{2}}}.
  • Observação sobre domínio: essa expressão só faz sentido (sem divisão por zero e dentro do domínio do arcseno) quando |2x+1|<1; nos pontos onde |2x+1|=1 o denominador é zero e a derivada explode.

Passo 5

Preparar a derivada segunda: estratégia e regra usada.
  • A derivada segunda é y''=(y')'. Temos y'(x)=2\bigl(1-(2x+1)^{2}\bigr)^{-1/2}.
  • Para diferenciar isso vamos usar a regra da cadeia novamente. Trata-se de derivar uma constante multiplicada por uma potência: se v(x)=\bigl(1-(2x+1)^{2}\bigr)^{-1/2}, então
v'(x)=(-\tfrac{1}{2})\bigl(1-(2x+1)^{2}\bigr)^{-3/2}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(1-(2x+1)^{2}\bigr).
  • Agora calculamos a derivada da expressão interna w(x)=1-(2x+1)^{2}.

Passo 6

Calcular a derivada da expressão interna e montar y''.
  • Primeiro, \dfrac{d}{dx}\bigl(1-(2x+1)^{2}\bigr)= -\dfrac{d}{dx}\bigl((2x+1)^{2}\bigr).
  • Derivando (2x+1)^{2}: aplicando a regra da cadeia ou a regra do poder com coeficiente, \dfrac{d}{dx}\bigl((2x+1)^{2}\bigr)=2(2x+1)\cdot(2)=4(2x+1).
  • Portanto \dfrac{d}{dx}\bigl(1-(2x+1)^{2}\bigr)=-4(2x+1).
  • Substituindo em v'(x):
v'(x)=(-\tfrac{1}{2})\bigl(1-(2x+1)^{2}\bigr)^{-3/2}\cdot\bigl(-4(2x+1)\bigr).
  • Simplificando os sinais e constantes: (-\tfrac{1}{2})\cdot(-4)=2. Então
v'(x)=2(2x+1)\bigl(1-(2x+1)^{2}\bigr)^{-3/2}.
  • Como y'(x)=2\,v(x), temos
y''(x)=2\,v'(x)=2\cdot\biggl[2(2x+1)\bigl(1-(2x+1)^{2}\bigr)^{-3/2}\biggr].
  • Portanto, multiplicando,
y''(x)=4(2x+1)\bigl(1-(2x+1)^{2}\bigr)^{-3/2}.
  • Em forma de fração:
y''(x)=\frac{4(2x+1)}{\bigl(1-(2x+1)^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 7

Resumo e comentários finais rápidos (dica de prova).
  • Resultado final: a primeira derivada sai direto aplicando a regra da cadeia à fórmula de \operatorname{arcsen}. Para a segunda derivada, reescreva y' como uma constante vezes uma potência negativa e aplique a regra da cadeia novamente com cuidado ao derivar a expressão interna.
  • Lembre-se de mencionar domínio nas provas: |2x+1|<1 é a região onde as fórmulas das derivadas são válidas sem singularidade.

Resposta

y'=\dfrac{2}{\sqrt{1-(2x+1)^{2}}}
y''=\dfrac{4(2x+1)}{\bigl(1-(2x+1)^{2}\bigr)^{3/2}}

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