Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} calcule também a segunda derivada:
f(t)=\operatorname{sen}^{2}\left(e^{\operatorname{sen}^{2}(t)}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma única função e pede a derivada primeira e a segunda derivada:
f(t)=\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(e^{\operatorname{sen}^{2}(t)}\bigr).
Vou listar claramente o que é pedido:
  • Calcular f'(t) (a primeira derivada).
  • Calcular f''(t) (a segunda derivada).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função interna é composta: primeiro aparece \sin^2(t), depois a exponencial e^{(\cdot)}, e por fim \sin^2(\cdot) aplicada sobre isso.
  • Para calcular as derivadas precisarei aplicar a regra da cadeia repetidas vezes e, para a segunda derivada, também a regra do produto (porque o resultado da primeira é produto de fatores).

Passo 2

Relembrando a ferramenta principal: regra da cadeia. Ela diz que, se y=g(h(t)), então
\frac{dy}{dt}=g'(h(t))\cdot h'(t).
Aqui temos composições em cadeia múltipla; vamos aplicá-la passo a passo. Também usaremos:
  • \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • \dfrac{d}{dx}\sin^{2}x=2\sin x\cos x (que é consequência da cadeia).
  • \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Identidades de ângulo duplo: 2\sin x\cos x=\sin(2x).

Passo 3

Organizar as camadas da composição para aplicar a cadeia com clareza.
Defina
u(t)=e^{\sin^{2}t}, \qquad v(u)=\sin u, \qquad f(t)=v(u(t))^{2}=\sin^{2}\!(u(t)).
Então, por regra da cadeia aplicada a f(t)=\bigl(\sin(u(t))\bigr)^{2},
f'(t)=2\sin(u(t))\cdot\cos(u(t))\cdot u'(t).
Note que 2\sin(u)\cos(u)=\sin(2u), o que nos dará uma forma mais compacta.

Passo 4

Calcular u'(t). Como u(t)=e^{\sin^{2}t},
u'(t)=e^{\sin^{2}t}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(\sin^{2}t\bigr).
E \dfrac{d}{dt}\bigl(\sin^{2}t\bigr)=2\sin t\cos t=\sin(2t). Portanto
u'(t)=e^{\sin^{2}t}\sin(2t).

Passo 5

Substituir u'(t) em f'(t). Lembrando u(t)=e^{\sin^{2}t},
f'(t)=2\sin\bigl(e^{\sin^{2}t}\bigr)\cos\bigl(e^{\sin^{2}t}\bigr)\cdot e^{\sin^{2}t}\sin(2t).
Usando 2\sin(\cdot)\cos(\cdot)=\sin(2\cdot) obtemos a forma mais elegante
\boxed{\,f'(t)=e^{\sin^{2}t}\sin(2t)\,\sin\!\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr).\,}
Essa é a primeira derivada; é compacta e fácil de manipular para a segunda derivada.

Passo 6

Agora vamos calcular a segunda derivada f''(t)=\dfrac{d}{dt}f'(t).
Partimos de
f'(t)=A(t)\,B(t)\,C(t),
onde definimos para facilitar:
A(t)=e^{\sin^{2}t},\qquad B(t)=\sin(2t),\qquad C(t)=\sin\!\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr).
Usaremos a regra do produto para três fatores:
\frac{d}{dt}(ABC)=A'BC+AB'C+ABC'.

Passo 7

Calcular as derivadas de cada fator.
  • Já sabemos A(t)=e^{\sin^{2}t}. Então
A'(t)=e^{\sin^{2}t}\cdot\frac{d}{dt}(\sin^{2}t)=e^{\sin^{2}t}\sin(2t).
  • Para B(t)=\sin(2t),
B'(t)=2\cos(2t).
  • Para C(t)=\sin\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr) aplicamos a cadeia:
C'(t)=\cos\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr)\cdot\frac{d}{dt}\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr).
Como \dfrac{d}{dt}\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr)=2e^{\sin^{2}t}\sin(2t) (usando o cálculo de u'(t) do passo 4), temos
C'(t)=2e^{\sin^{2}t}\sin(2t)\cos\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr).

Passo 8

Agora montamos f''(t)=A'BC+AB'C+ABC' substituindo os resultados.
Primeiro termo:
A'BC=\bigl(e^{\sin^{2}t}\sin(2t)\bigr)\cdot\sin(2t)\cdot\sin\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr) = e^{\sin^{2}t}\sin^{2}(2t)\,\sin\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr).
Segundo termo:
AB'C=e^{\sin^{2}t}\cdot 2\cos(2t)\cdot \sin\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr) =2e^{\sin^{2}t}\cos(2t)\,\sin\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr).
Terceiro termo:
ABC'=e^{\sin^{2}t}\sin(2t)\cdot\bigl(2e^{\sin^{2}t}\sin(2t)\cos(2e^{\sin^{2}t})\bigr) =2e^{2\sin^{2}t}\sin^{2}(2t)\cos\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr).
Somando os três termos obtemos uma forma organizada para f''(t):
\begin{aligned} f''(t)&=e^{\sin^{2}t}\sin^{2}(2t)\,\sin\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr) +2e^{\sin^{2}t}\cos(2t)\,\sin\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr)\\\ &\quad+2e^{2\sin^{2}t}\sin^{2}(2t)\cos\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr). \end{aligned}
Podemos fatorar e^{\sin^{2}t}\sin\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr) nos dois primeiros termos, se quiser uma aparência alternativa:
f''(t)=e^{\sin^{2}t}\sin\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr)\bigl(\sin^{2}(2t)+2\cos(2t)\bigr) +2e^{2\sin^{2}t}\sin^{2}(2t)\cos\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr).

Resposta

f'(t)=e^{\sin^{2}t}\sin(2t)\,\sin\!\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr)
f''(t)=e^{\sin^{2}t}\sin^{2}(2t)\,\sin\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr)+2e^{\sin^{2}t}\cos(2t)\,\sin\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr)+2e^{2\sin^{2}t}\sin^{2}(2t)\cos\bigl(2e^{\sin^{2}t}\bigr)

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