Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a segunda derivada:
Passo 1
O enunciado dá uma única função e pede a derivada primeira e a segunda derivada:
Vou listar claramente o que é pedido:
- Calcular
(a primeira derivada). - Calcular
(a segunda derivada).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função interna é composta: primeiro aparece
, depois a exponencial , e por fim aplicada sobre isso. - Para calcular as derivadas precisarei aplicar a regra da cadeia repetidas vezes e, para a segunda derivada, também a regra do produto (porque o resultado da primeira é produto de fatores).
Passo 2
Relembrando a ferramenta principal: regra da cadeia. Ela diz que, se
, então
Aqui temos composições em cadeia múltipla; vamos aplicá-la passo a passo. Também usaremos:
-
. -
(que é consequência da cadeia). -
. - Identidades de ângulo duplo:
.
Passo 3
Organizar as camadas da composição para aplicar a cadeia com clareza.
Defina
Defina
Então, por regra da cadeia aplicada a
,
Note que
, o que nos dará uma forma mais compacta.
Passo 4
Calcular
. Como
,
E
. Portanto
Passo 5
Substituir
em
. Lembrando
,
Usando
obtemos a forma mais elegante
Essa é a primeira derivada; é compacta e fácil de manipular para a segunda derivada.
Passo 6
Agora vamos calcular a segunda derivada
.
Partimos de
Partimos de
onde definimos para facilitar:
Usaremos a regra do produto para três fatores:
Passo 7
Calcular as derivadas de cada fator.
- Já sabemos
. Então
- Para
,
- Para
aplicamos a cadeia:
Como
(usando o cálculo de
do passo 4), temos
Passo 8
Agora montamos
substituindo os resultados.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Somando os três termos obtemos uma forma organizada para
:
Podemos fatorar
nos dois primeiros termos, se quiser uma aparência alternativa: