Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada
dizemos que a derivada segunda de
é, por definição, a derivada de
, e denotamos por
. Isto é:
. Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
Passo 1
O que o problema pede e o que temos:
- Pede-se a derivada da função
- Além disso, como este item exige (presumivelmente é um dos itens para os quais é pedido), vamos calcular também a derivada segunda
.
Informações dadas relevantes:
- A função é compost a de uma arctangente aplicada a uma razão
. - Vamos precisar das regras de derivação para funções compostas e para quocientes, e da fórmula da derivada da função arcotangente.
Passo 2
Fórmulas e conceitos que usaremos (lembrando passo a passo como aplicar):
- Derivada da arctangente: para
,
Aqui
é a derivada de
em relação a
.
- Regra do quociente: para
com ,
- Regra da cadeia: ao derivar uma composição
usamos .
Vou aplicar essas fórmulas explicitamente e explicar cada passo.
Passo 3
Observação útil (identidade que simplifica bastante):
Existe a identidade de arctangentes
Existe a identidade de arctangentes
Como
, obtemos a forma mais simples
Breve justificativa dessa identidade: é a fórmula
aplicada com
e
. (Observação: há questões de ramo que adicionam múltiplos de
, mas para a derivação basta a igualdade local até constante — constantes somadas não alteram derivada.)
Passo 4
Cálculo da derivada primeira usando a forma simplificada:
A função ficou . A constante
some na derivação. Aplicando a fórmula da derivada da arctangente,
A função ficou
Explicando cada parte:
porque aqui
tem
. O sinal menos vem da subtração pela constante
.
Passo 5
Cálculo da derivada segunda:
Partimos de
Partimos de
Derivando novamente (regra da potência composta):
Explicando os passos: usei
(cadeia: derivada do interno
é
). O sinal global resulta em
como mostrado.
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, para treinar regras): derivando diretamente sem usar a identidade.
- Defina
. Usando a regra do quociente,
- Agora aplique a fórmula da derivada da arctangente:
- Simplificando o denominador:
- Assim
o que confirma o resultado anterior. A derivada segunda obtida antes também se verifica derivando este
.