Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{c}, \mathrm{e}, \mathrm{g}, \mathrm{k} calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada y=f(x) dizemos que a derivada segunda de f é, por definição, a derivada de f^{\prime}, e denotamos por f^{\prime \prime}. Isto é: f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}(x). Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
y=\operatorname{arctg}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)

Passo 1

O que o problema pede e o que temos:
  • Pede-se a derivada da função
y=\operatorname{arctg}\!\left(\frac{1-x}{1+x}\right).
  • Além disso, como este item exige (presumivelmente é um dos itens para os quais é pedido), vamos calcular também a derivada segunda y''.
Informações dadas relevantes:
  • A função é compost a de uma arctangente aplicada a uma razão \dfrac{1-x}{1+x}.
  • Vamos precisar das regras de derivação para funções compostas e para quocientes, e da fórmula da derivada da função arcotangente.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que usaremos (lembrando passo a passo como aplicar):
  • Derivada da arctangente: para u=u(x),
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg}(u)\big)=\frac{u'}{1+u^{2}}.
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • Regra do quociente: para u(x)=\dfrac{v(x)}{w(x)} com w\neq0,
u'=\frac{v'w-vw'}{w^{2}}.
  • Regra da cadeia: ao derivar uma composição f(g(x)) usamos (f\circ g)' = f'(g(x))\cdot g'(x).
    Vou aplicar essas fórmulas explicitamente e explicar cada passo.

Passo 3

Observação útil (identidade que simplifica bastante):
Existe a identidade de arctangentes
\operatorname{arctg}\!\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\operatorname{arctg}(1)-\operatorname{arctg}(x).
Como \operatorname{arctg}(1)=\dfrac{\pi}{4}, obtemos a forma mais simples
y=\frac{\pi}{4}-\operatorname{arctg}(x).
Breve justificativa dessa identidade: é a fórmula
\operatorname{arctg}(a)-\operatorname{arctg}(b)=\operatorname{arctg}\!\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)
aplicada com a=1 e b=x. (Observação: há questões de ramo que adicionam múltiplos de \pi, mas para a derivação basta a igualdade local até constante — constantes somadas não alteram derivada.)

Passo 4

Cálculo da derivada primeira usando a forma simplificada:
A função ficou y=\dfrac{\pi}{4}-\operatorname{arctg}(x). A constante \dfrac{\pi}{4} some na derivação. Aplicando a fórmula da derivada da arctangente,
y' = 0 - \frac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg}(x)\big) = -\frac{1}{1+x^{2}}.
Explicando cada parte: \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg}(x)\big)=\dfrac{1}{1+x^{2}} porque aqui u(x)=x tem u'=1. O sinal menos vem da subtração pela constante \pi/4.

Passo 5

Cálculo da derivada segunda:
Partimos de
y'=-\big(1+x^{2}\big)^{-1}.
Derivando novamente (regra da potência composta):
y'' = -\big(-1\big)\big(1+x^{2}\big)^{-2}\cdot(2x) = \frac{2x}{\big(1+x^{2}\big)^{2}}.
Explicando os passos: usei \dfrac{d}{dx}\big((1+x^{2})^{-1}\big)=-1(1+x^{2})^{-2}\cdot(2x) (cadeia: derivada do interno 1+x^{2} é 2x). O sinal global resulta em + como mostrado.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para treinar regras): derivando diretamente sem usar a identidade.
  • Defina u(x)=\dfrac{1-x}{1+x}. Usando a regra do quociente,
u'=\frac{(-1)(1+x)-(1-x)(1)}{(1+x)^{2}} =\frac{-1-x-1+x}{(1+x)^{2}} =\frac{-2}{(1+x)^{2}}.
  • Agora aplique a fórmula da derivada da arctangente:
y'=\frac{u'}{1+u^{2}} =\frac{-2/(1+x)^{2}}{1+\big(\tfrac{1-x}{1+x}\big)^{2}}.
  • Simplificando o denominador:
1+\big(\tfrac{1-x}{1+x}\big)^{2} =\frac{(1+x)^{2}+(1-x)^{2}}{(1+x)^{2}} =\frac{2+2x^{2}}{(1+x)^{2}}=\frac{2(1+x^{2})}{(1+x)^{2}}.
  • Assim
y'=\frac{-2/(1+x)^{2}}{2(1+x^{2})/(1+x)^{2}}=-\frac{1}{1+x^{2}},
o que confirma o resultado anterior. A derivada segunda obtida antes também se verifica derivando este y'.

Resposta

y'=-\frac{1}{1+x^{2}}
y''=\frac{2x}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{2}}

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