Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada
dizemos que a derivada segunda de
é, por definição, a derivada de
, e denotamos por
. Isto é:
. Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a(s) derivada(s) da função dada. A função que temos é
Informações relevantes:
- A função é produto de duas funções mais simples:
e . - É provável que precisemos usar a regra do produto e, para
, a regra da cadeia (pois dentro do há a função ).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do produto: se
então
Isto significa: derivar uma das funções e manter a outra, somar à outra função derivada vezes a primeira não derivada.
- Regra da cadeia para
: se então
Isto é: derivada do logaritmo natural é a derivada do argumento dividida pelo próprio argumento.
Vou aplicar essas regras com
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas das partes simples:
- Para
temos, pela regra básica de potências,
Explicação curta: derivada de
é
.
- Para
aplicamos a regra da cadeia. O argumento é , cuja derivada é . Portanto
Passo 4
Aplicar a regra do produto para obter
.
Usando calculados:
Usando
Vamos simplificar um pouco essa expressão. Podemos fatorar
em ambos os termos? Observe o segundo termo é
. Escrever de forma factorizada ajuda na prova:
Fatorando
:
Ambas as formas estão corretas; a primeira é direta, a segunda é um pouco mais elegante para simplificar ou analisar sinais.
Passo 5
Agora vamos (opcional, mas útil) calcular a derivada segunda
, que é a derivada de
. Vou derivar a forma não totalmente fatorada
tratando cada termo separadamente.
Denotemos
então
.
Passo 6
Derivando
: é produto de
e
.
- Derivada de
é . - Derivada de
já calculamos: .
Aplicando a regra do produto:
Passo 7
Derivando
. Vou usar a ideia de produto com potência negativa para deixar os passos bem claros:
Trate
como constante multiplicativa. Seja
. Então
e
.
Para
use a regra do produto com
e
.
-
. - Para
aplicamos a regra da cadeia: .
Agora
Multiplicando por
para obter
:
Passo 8
Somando
e
para obter
:
Agrupando termos semelhantes:
Podemos simplificar as duas frações combinando sobre o mesmo denominador
. Fazendo isso:
Subtraindo
obtemos
Portanto uma forma simplificada de
é
Passo 9
Resumo das formas úteis que obtivemos (úteis para a prova):
- Forma direta da primeira derivada:
- Forma fatorada da primeira derivada (às vezes mais prática):
- Forma simplificada da segunda derivada: