Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{c}, \mathrm{e}, \mathrm{g}, \mathrm{k} calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada y=f(x) dizemos que a derivada segunda de f é, por definição, a derivada de f^{\prime}, e denotamos por f^{\prime \prime}. Isto é: f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}(x). Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
f(t)=t^{2} \ln (2 t+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a(s) derivada(s) da função dada. A função que temos é
f(t)=t^{2}\ln(2t+1).
Informações relevantes:
  • A função é produto de duas funções mais simples: t^{2} e \ln(2t+1).
  • É provável que precisemos usar a regra do produto e, para \ln(2t+1), a regra da cadeia (pois dentro do \ln há a função 2t+1).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do produto: se f(t)=u(t)\,v(t) então
f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Isto significa: derivar uma das funções e manter a outra, somar à outra função derivada vezes a primeira não derivada.
  • Regra da cadeia para \ln: se v(t)=\ln(g(t)) então
v'(t)=\frac{g'(t)}{g(t)}.
Isto é: derivada do logaritmo natural é a derivada do argumento dividida pelo próprio argumento.
Vou aplicar essas regras com u(t)=t^{2} e v(t)=\ln(2t+1).

Passo 3

Calcular as derivadas das partes simples:
  • Para u(t)=t^{2} temos, pela regra básica de potências,
u'(t)=2t.
Explicação curta: derivada de t^{n} é n t^{n-1}.
  • Para v(t)=\ln(2t+1) aplicamos a regra da cadeia. O argumento é g(t)=2t+1, cuja derivada é g'(t)=2. Portanto
v'(t)=\frac{g'(t)}{g(t)}=\frac{2}{2t+1}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto para obter f'(t).
Usando u',u,v' calculados:
f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t)=2t\cdot\ln(2t+1)+t^{2}\cdot\frac{2}{2t+1}.
Vamos simplificar um pouco essa expressão. Podemos fatorar 2t em ambos os termos? Observe o segundo termo é \dfrac{2t^{2}}{2t+1}. Escrever de forma factorizada ajuda na prova:
f'(t)=2t\ln(2t+1)+\frac{2t^{2}}{2t+1}.
Fatorando 2t:
f'(t)=2t\left(\ln(2t+1)+\frac{t}{2t+1}\right).
Ambas as formas estão corretas; a primeira é direta, a segunda é um pouco mais elegante para simplificar ou analisar sinais.

Passo 5

Agora vamos (opcional, mas útil) calcular a derivada segunda f''(t), que é a derivada de f'(t). Vou derivar a forma não totalmente fatorada
f'(t)=2t\ln(2t+1)+\frac{2t^{2}}{2t+1},
tratando cada termo separadamente.
Denotemos
A(t)=2t\ln(2t+1),\qquad B(t)=\frac{2t^{2}}{2t+1},
então f''(t)=A'(t)+B'(t).

Passo 6

Derivando A(t)=2t\ln(2t+1): é produto de 2t e \ln(2t+1).
  • Derivada de 2t é 2.
  • Derivada de \ln(2t+1) já calculamos: \dfrac{2}{2t+1}.
    Aplicando a regra do produto:
A'(t)=2\cdot\ln(2t+1)+2t\cdot\frac{2}{2t+1}=2\ln(2t+1)+\frac{4t}{2t+1}.

Passo 7

Derivando B(t)=\dfrac{2t^{2}}{2t+1}. Vou usar a ideia de produto com potência negativa para deixar os passos bem claros:
B(t)=2\cdot t^{2}\cdot(2t+1)^{-1}.
Trate 2 como constante multiplicativa. Seja C(t)=t^{2}(2t+1)^{-1}. Então B(t)=2C(t) e B'(t)=2C'(t).
Para C(t)=t^{2}(2t+1)^{-1} use a regra do produto com p(t)=t^{2} e q(t)=(2t+1)^{-1}.
  • p'(t)=2t.
  • Para q(t)=(2t+1)^{-1} aplicamos a regra da cadeia: q'(t)=-1\cdot(2t+1)^{-2}\cdot 2=-\dfrac{2}{(2t+1)^{2}}.
    Agora
C'(t)=p'(t)q(t)+p(t)q'(t)=2t\cdot(2t+1)^{-1}+t^{2}\cdot\left(-\frac{2}{(2t+1)^{2}}\right).
Multiplicando por 2 para obter B'(t):
B'(t)=2C'(t)=\frac{4t}{2t+1}-\frac{4t^{2}}{(2t+1)^{2}}.

Passo 8

Somando A'(t) e B'(t) para obter f''(t):
f''(t)=\left(2\ln(2t+1)+\frac{4t}{2t+1}\right)+\left(\frac{4t}{2t+1}-\frac{4t^{2}}{(2t+1)^{2}}\right).
Agrupando termos semelhantes:
f''(t)=2\ln(2t+1)+\frac{8t}{2t+1}-\frac{4t^{2}}{(2t+1)^{2}}.
Podemos simplificar as duas frações combinando sobre o mesmo denominador (2t+1)^{2}. Fazendo isso:
\frac{8t}{2t+1}=\frac{8t(2t+1)}{(2t+1)^{2}}=\frac{16t^{2}+8t}{(2t+1)^{2}}.
Subtraindo \dfrac{4t^{2}}{(2t+1)^{2}} obtemos
\frac{16t^{2}+8t-4t^{2}}{(2t+1)^{2}}=\frac{12t^{2}+8t}{(2t+1)^{2}}=\frac{4t(3t+2)}{(2t+1)^{2}}.
Portanto uma forma simplificada de f''(t) é
f''(t)=2\ln(2t+1)+\frac{4t(3t+2)}{(2t+1)^{2}}.

Passo 9

Resumo das formas úteis que obtivemos (úteis para a prova):
  • Forma direta da primeira derivada:
f'(t)=2t\ln(2t+1)+\frac{2t^{2}}{2t+1}.
  • Forma fatorada da primeira derivada (às vezes mais prática):
f'(t)=2t\left(\ln(2t+1)+\frac{t}{2t+1}\right).
  • Forma simplificada da segunda derivada:
f''(t)=2\ln(2t+1)+\frac{4t(3t+2)}{(2t+1)^{2}}.

Resposta

f'(t)=2t\ln(2t+1)+\dfrac{2t^{2}}{2t+1}
f''(t)=2\ln(2t+1)+\dfrac{4t(3t+2)}{(2t+1)^{2}}

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