Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{c}, \mathrm{e}, \mathrm{g}, \mathrm{k} calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada y=f(x) dizemos que a derivada segunda de f é, por definição, a derivada de f^{\prime}, e denotamos por f^{\prime \prime}. Isto é: f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}(x). Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
g(x)=x \ln (x)-x

Passo 1

O enunciado dá a função g definida por g(x)=x\ln(x)-x. Como o termo \ln(x) aparece, o domínio natural desta função é x>0.
O que o problema pede (item \mathrm{g}): calcular a derivada primeira g'(x) e, além disso, calcular a derivada segunda g''(x).

Passo 2

Vamos recordar as regras de derivação que vamos usar (explicando devagar como se estivéssemos na prova).
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então a derivada de u(x)v(x) é
\big(u v\big)' = u'v + uv'.
Aqui u' significa \dfrac{du}{dx} e v' significa \dfrac{dv}{dx}.
  • Derivada do logaritmo natural: para x>0,
\big(\ln(x)\big)' = \frac{1}{x}.
Isto vem da definição do logaritmo inverso da exponencial; na prova é aceitável decorar essa regra.
  • Derivada da função identidade: para x,
\big(x\big)' = 1.
Sempre que eu usar uma destas fórmulas, vou explicar o que cada pedaço representa (por exemplo, em u'v + uv', u' é a derivada de u etc.), para que você possa aplicar direto na prova.

Passo 3

Identificamos, dentro de g(x)=x\ln(x)-x, o produto x\ln(x). Vamos aplicar a regra do produto a esse termo.
Escolho u(x)=x e v(x)=\ln(x). Então:
  • u'(x)=\big(x\big)'=1.
  • v'(x)=\big(\ln(x)\big)'=\dfrac{1}{x} (válido para x>0).
Aplicando a regra do produto:
\big(x\ln(x)\big)' = u'v + uv' = 1\cdot\ln(x) + x\cdot\frac{1}{x}.
Agora lembramos que há também o termo subtraído -x na definição de g. A derivada de -x é -1. Portanto,
g'(x) = \big(x\ln(x)\big)' - \big(x\big)' = \big(\ln(x) + x\cdot\frac{1}{x}\big) - 1.

Passo 4

Simplificando a expressão obtida:
x\cdot\frac{1}{x}=1,
então
g'(x)=\ln(x) + 1 - 1 = \ln(x).
Portanto a derivada primeira ficou muito simples: g'(x)=\ln(x), válida para x>0.
Um comentário pedagógico: é comum em provas ver x\ln(x)-x porque o -x cancela o +1 vindo do produto, deixando só \ln(x). Vale lembrar esse padrão — às vezes acelera muito a conta.

Passo 5

Agora calculamos a derivada segunda g''(x). Por definição dada no enunciado, g''(x) é a derivada de g'(x). Já temos g'(x)=\ln(x). Então diferenciamos \ln(x):
Usando a regra do passo 2,
g''(x)=\big(g'(x)\big)'=\big(\ln(x)\big)'=\frac{1}{x},
válido para x>0.
Também é bom anotar que g''(x)=\dfrac{1}{x} é positiva para x>0, o que significa que g é côncava para cima no domínio — só uma observação geométrica rápida para a prova.

Resposta

g'(x)=\ln(x)
g''(x)=\dfrac{1}{x}

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