Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada
dizemos que a derivada segunda de
é, por definição, a derivada de
, e denotamos por
. Isto é:
. Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
. Como o termo
aparece, o domínio natural desta função é
.
O que o problema pede (item ): calcular a derivada primeira
e, além disso, calcular a derivada segunda
.
O que o problema pede (item
Passo 2
Vamos recordar as regras de derivação que vamos usar (explicando devagar como se estivéssemos na prova).
- Regra do produto: se
e são funções, então a derivada de é
Aqui
significa
e
significa
.
- Derivada do logaritmo natural: para
,
Isto vem da definição do logaritmo inverso da exponencial; na prova é aceitável decorar essa regra.
- Derivada da função identidade: para
,
Sempre que eu usar uma destas fórmulas, vou explicar o que cada pedaço representa (por exemplo, em
,
é a derivada de
etc.), para que você possa aplicar direto na prova.
Passo 3
Identificamos, dentro de
, o produto
. Vamos aplicar a regra do produto a esse termo.
Escolho
e
. Então:
-
. -
(válido para ).
Aplicando a regra do produto:
Agora lembramos que há também o termo subtraído
na definição de
. A derivada de
é
. Portanto,
Passo 4
Simplificando a expressão obtida:
então
Portanto a derivada primeira ficou muito simples:
, válida para
.
Um comentário pedagógico: é comum em provas ver
porque o
cancela o
vindo do produto, deixando só
. Vale lembrar esse padrão — às vezes acelera muito a conta.
Passo 5
Agora calculamos a derivada segunda
. Por definição dada no enunciado,
é a derivada de
. Já temos
. Então diferenciamos
:
Usando a regra do passo 2,
válido para
.
Também é bom anotar que
é positiva para
, o que significa que
é côncava para cima no domínio — só uma observação geométrica rápida para a prova.