Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{c}, \mathrm{e}, \mathrm{g}, \mathrm{k} calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada y=f(x) dizemos que a derivada segunda de f é, por definição, a derivada de f^{\prime}, e denotamos por f^{\prime \prime}. Isto é: f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}(x). Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
h(x)=\log _{10}\left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)=\log_{10}\!\bigl(x^{2}+1\bigr)
e pede para calcular a(s) derivada(s). Vou calcular a derivada primeira h'(x) e, como é útil para muitos exercícios (e seguindo a observação do enunciado), também vou calcular a derivada segunda h''(x).
Informações dadas:
  • A função é h(x)=\log_{10}\!\bigl(x^{2}+1\bigr).
  • Não há restrição explícita no domínio além do que impõe o log; aqui x^{2}+1>0 para todo x, então o domínio é \mathbb{R}.
O que se pede:
  • Calcular h'(x).
  • Calcular h''(x).

Passo 2

Regra que vamos usar (explicada de um jeito simples): para uma função composta do tipo \log_{a}\!\bigl(u(x)\bigr), onde a>0, a\neq1, vale a identidade
\frac{d}{dx}\log_{a}\!\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln a}.
Por que isso é verdade? Porque \log_{a}u=\dfrac{\ln u}{\ln a} (uma vez que mudar de base do log dá esse fator constante \ln a), e a derivada de \ln u(x) pela regra da cadeia é u'(x)/u(x). Aqui:
  • u(x) é a função interna (aquela dentro do log),
  • u'(x) é a derivada dessa função interna,
  • \ln a é a constante \ln da base do log.
Exemplo rápido para fixar: derivada de \log_{10}x é \dfrac{1}{x\ln 10}, porque u(x)=x e u'(x)=1.

Passo 3

Identificar a função interna e sua derivada:
u(x)=x^{2}+1, \qquad u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=2x.
Expliquei: derivei termo a termo; a constante 1 some e a derivada de x^{2} é 2x.

Passo 4

Aplicando a fórmula do Passo 2 com a=10 e u(x)=x^{2}+1, obtemos a derivada primeira:
h'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln 10}=\frac{2x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)\,\ln 10}.
Comentário prático: é um número racional em x dividido por \ln 10; em prova escreva exatamente assim, é simples e exato.

Passo 5

Agora calculamos a derivada segunda h''(x)=\bigl(h'(x)\bigr)'. Para facilitar a diferenciação, vou reescrever h'(x) isolando a constante \dfrac{2}{\ln 10}:
h'(x)=\frac{2}{\ln 10}\cdot \frac{x}{x^{2}+1} =\frac{2}{\ln 10}\; x\,(x^{2}+1)^{-1}.
Vou usar a regra do produto para derivar x\cdot (x^{2}+1)^{-1}. A regra do produto diz: se v(x)=p(x)q(x) então v'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x). Aqui:
  • p(x)=x e p'(x)=1.
  • q(x)=(x^{2}+1)^{-1}. Para q'(x) uso a regra da cadeia:
q'(x)=-1\cdot (x^{2}+1)^{-2}\cdot (2x) = -\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 6

Aplicando a regra do produto e lembrando do fator constante \dfrac{2}{\ln 10}:
h''(x)=\frac{2}{\ln 10}\Bigl[\,1\cdot (x^{2}+1)^{-1} + x\cdot\bigl(-\tfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\bigr)\Bigr].
Agora simplifico a expressão dentro dos colchetes passo a passo:
(x^{2}+1)^{-1} - \frac{2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}} - \frac{2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{x^{2}+1-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Portanto
h''(x)=\frac{2}{\ln 10}\cdot \frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2\bigl(1-x^{2}\bigr)}{(x^{2}+1)^{2}\,\ln 10}.

Resposta

h'(x)=\frac{2x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)\,\ln 10}
h''(x)=\frac{2\bigl(1-x^{2}\bigr)}{(x^{2}+1)^{2}\,\ln 10}

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