Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada
dizemos que a derivada segunda de
é, por definição, a derivada de
, e denotamos por
. Isto é:
. Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a(s) derivada(s). Vou calcular a derivada primeira
e, como é útil para muitos exercícios (e seguindo a observação do enunciado), também vou calcular a derivada segunda
.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há restrição explícita no domínio além do que impõe o log; aqui
para todo , então o domínio é .
O que se pede:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Regra que vamos usar (explicada de um jeito simples): para uma função composta do tipo
, onde
,
, vale a identidade
Por que isso é verdade? Porque
(uma vez que mudar de base do log dá esse fator constante
), e a derivada de
pela regra da cadeia é
. Aqui:
-
é a função interna (aquela dentro do log), -
é a derivada dessa função interna, -
é a constante da base do log.
Exemplo rápido para fixar: derivada de
é
, porque
e
.
Passo 3
Identificar a função interna e sua derivada:
Expliquei: derivei termo a termo; a constante
some e a derivada de
é
.
Passo 4
Aplicando a fórmula do Passo 2 com
e
, obtemos a derivada primeira:
Comentário prático: é um número racional em
dividido por
; em prova escreva exatamente assim, é simples e exato.
Passo 5
Agora calculamos a derivada segunda
. Para facilitar a diferenciação, vou reescrever
isolando a constante
:
Vou usar a regra do produto para derivar
. A regra do produto diz: se
então
. Aqui:
-
e . -
. Para uso a regra da cadeia:
Passo 6
Aplicando a regra do produto e lembrando do fator constante
:
Agora simplifico a expressão dentro dos colchetes passo a passo:
Portanto