Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} calcule também a segunda derivada:
g(t)=\sqrt[3]{1+\operatorname{tg}(t)}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(t)=\sqrt[3]{1+\operatorname{tg}(t)}
e pede a derivada primeira g'(t). Como foi pedido também a segunda derivada nos itens similares, aqui vamos calcular também g''(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma raiz cúbica de uma expressão que envolve \operatorname{tg}(t) (ou seja, \tan t).
  • Não há valores numéricos específicos; o objetivo é obter fórmulas simbólicas para g'(t) e g''(t).

Passo 2

Vamos reescrever a função numa forma que facilite a diferenciação usando potências. Defina
u(t)=1+\operatorname{tg}(t).
Então
g(t)=u(t)^{1/3}.
Explicando a ideia (aula rápida): quando temos uma composição g(t)=h(u(t)) com h(x)=x^{1/3}, usamos a regra da cadeia: a derivada é g'(t)=h'(u(t))\cdot u'(t). Para h(x)=x^{m} vale h'(x)=m x^{m-1}. Aqui m=\tfrac{1}{3}.
Aplicando isso:
\frac{d}{dt}\big(u(t)^{1/3}\big)=\frac{1}{3}\,u(t)^{-2/3}\cdot u'(t).

Passo 3

Agora precisamos de u'(t). Como u(t)=1+\operatorname{tg}(t), temos 1 constante e
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{tg}(t)\big)=\operatorname{sec}^2 t,
onde \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}. (Breve lembrete: a derivada de \tan t é \operatorname{sec}^2 t porque \tan t=\sin t/\cos t e aplicando quociente ou sabendo a regra padrão chega-se a \operatorname{sec}^2 t.)
Portanto
u'(t)=\operatorname{sec}^2 t.
Substituindo em g'(t) obtemos a derivada primeira:
g'(t)=\frac{1}{3}\,u(t)^{-2/3}\cdot \operatorname{sec}^2 t
ou reescrevendo u(t)=1+\operatorname{tg}(t),
\boxed{\,g'(t)=\dfrac{1}{3}\,\big(1+\operatorname{tg}(t)\big)^{-2/3}\operatorname{sec}^2 t\,.}

Passo 4

Agora vamos calcular a segunda derivada g''(t)=\dfrac{d}{dt}\big(g'(t)\big).
Para organizar, escrevemos
g'(t)=\frac{1}{3}\,\big(1+\operatorname{tg}(t)\big)^{-2/3}\cdot \operatorname{sec}^2 t.
Isto é um produto de duas funções de t: A(t)=\dfrac{1}{3}\big(1+\tan t\big)^{-2/3} e B(t)=\operatorname{sec}^2 t. Usamos a regra do produto:
\frac{d}{dt}\big(A\cdot B\big)=A'\,B + A\,B'.
Calculemos A'(t) e B'(t) separadamente.
  • Para A(t)=\dfrac{1}{3}\,u(t)^{-2/3} com u(t)=1+\tan t, aplicamos regra da cadeia:
A'(t)=\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)u(t)^{-5/3}\cdot u'(t) = -\frac{2}{9}\,u(t)^{-5/3}\cdot \operatorname{sec}^2 t.
  • Para B(t)=\operatorname{sec}^2 t, usamos que \dfrac{d}{dt}\big(\operatorname{sec} t\big)=\operatorname{sec} t\tan t. Assim, por regra da cadeia para potência,
B'(t)=\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec}^2 t\big)=2\operatorname{sec} t\cdot\frac{d}{dt}(\operatorname{sec} t)=2\operatorname{sec} t\cdot(\operatorname{sec} t\tan t)=2\operatorname{sec}^2 t\tan t.
(Resumo: B'(t)=2\operatorname{sec}^2 t\tan t.)

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
g''(t)=A'(t)B(t)+A(t)B'(t).
Substituindo os valores encontrados:
g''(t)=\left(-\frac{2}{9}u^{-5/3}\operatorname{sec}^2 t\right)\cdot \operatorname{sec}^2 t \;+\;\left(\frac{1}{3}u^{-2/3}\right)\cdot\big(2\operatorname{sec}^2 t\tan t\big),
onde u=1+\operatorname{tg}(t). Simplificando termos semelhantes:
g''(t)=-\frac{2}{9}u^{-5/3}\operatorname{sec}^4 t+\frac{2}{3}u^{-2/3}\operatorname{sec}^2 t\tan t.
Podemos fatorar um fator comum para ficar mais compacto. Observe que um fator comum é \dfrac{2}{9}\operatorname{sec}^2 t\,u^{-5/3}. Fatorando:
g''(t)=\frac{2}{9}\operatorname{sec}^2 t\,u^{-5/3}\big(3u\tan t-\operatorname{sec}^2 t\big).
Voltando a u=1+\operatorname{tg}(t), obtém-se a forma final.

Resposta

g'(t)=\frac{1}{3}\big(1+\operatorname{tg}(t)\big)^{-2/3}\operatorname{sec}^2 t
g''(t)=-\frac{2}{9}\big(1+\operatorname{tg}(t)\big)^{-5/3}\operatorname{sec}^4 t+\frac{2}{3}\big(1+\operatorname{tg}(t)\big)^{-2/3}\operatorname{sec}^2 t\tan t

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