Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a segunda derivada:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada primeira
. Como foi pedido também a segunda derivada nos itens similares, aqui vamos calcular também
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma raiz cúbica de uma expressão que envolve
(ou seja, ). - Não há valores numéricos específicos; o objetivo é obter fórmulas simbólicas para
e .
Passo 2
Vamos reescrever a função numa forma que facilite a diferenciação usando potências. Defina
Então
Explicando a ideia (aula rápida): quando temos uma composição
com
, usamos a regra da cadeia: a derivada é
. Para
vale
. Aqui
.
Aplicando isso:
Passo 3
Agora precisamos de
. Como
, temos
constante e
onde
. (Breve lembrete: a derivada de
é
porque
e aplicando quociente ou sabendo a regra padrão chega-se a
.)
Portanto
Substituindo em
obtemos a derivada primeira:
ou reescrevendo
,
Passo 4
Agora vamos calcular a segunda derivada
.
Para organizar, escrevemos
Isto é um produto de duas funções de
:
e
. Usamos a regra do produto:
Calculemos
e
separadamente.
- Para
com , aplicamos regra da cadeia:
- Para
, usamos que . Assim, por regra da cadeia para potência,
(Resumo:
.)
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores encontrados:
onde
. Simplificando termos semelhantes:
Podemos fatorar um fator comum para ficar mais compacto. Observe que um fator comum é
. Fatorando:
Voltando a
, obtém-se a forma final.