Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} calcule também a segunda derivada:
y=5^{-1 / x}+\operatorname{cotg}^{2}(\operatorname{sen}(x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada (primeira) da função
y = 5^{-1/x} + \operatorname{cotg}^{2}(\operatorname{sen} x).
Também pede a segunda derivada (ou seja, y''). Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é soma de duas partes: uma exponencial de base fixa 5 com expoente -1/x e uma função trigonométrica composta \operatorname{cotg}^{2}(\operatorname{sen} x).
  • Vou usar as notações comuns em LaTeX: \cot para cotangente, \csc para cossecante, \sin para seno e \cos para cosseno. Assim \operatorname{cotg}(\operatorname{sen} x) será escrita como \cot(\sin x).

Passo 2

Relembre as regras de derivação que vou aplicar (com explicações simples):
  • Regra da cadeia: se y = F(u(x)), então y' = F'(u(x))\cdot u'(x). Ou seja, deriva-se a função externa e multiplica-se pelo derivado da interna.
  • Derivada de potência simples: \dfrac{d}{dx}\big(u(x)^2\big) = 2u(x)\,u'(x).
  • Derivada de exponencial com base a>0: \dfrac{d}{dx}\big(a^{u(x)}\big)=a^{u(x)}\ln(a)\cdot u'(x). Aqui \ln(a) é a constante natural log de a.
  • Derivadas trigonométricas básicas:
    • \dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x.
    • \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x.
    • \dfrac{d}{dx}\cot u = -\csc^{2}u\cdot u', onde \csc u = 1/\sin u.
  • Derivada de u(x) = -\dfrac{1}{x} = -x^{-1} é u'(x)=\dfrac{1}{x^{2}}. (Derive -x^{-1} para ver: -1\cdot(-1)x^{-2}=x^{-2}.)

Passo 3

Derivada da primeira parcela f(x)=5^{-1/x}.
Aplicando a regra da exponencial:
f'(x)=5^{-1/x}\ln 5\cdot\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{x}\right).
Usando \dfrac{d}{dx}\big(-1/x\big)=\dfrac{1}{x^{2}}, obtemos
f'(x)=5^{-1/x}\ln 5\cdot\frac{1}{x^{2}}.
Ou seja,
\boxed{\dfrac{d}{dx}\big(5^{-1/x}\big)=\dfrac{5^{-1/x}\ln 5}{x^{2}}.}

Passo 4

Derivada da segunda parcela g(x)=\cot^{2}(\sin x).
Trabalhamos em duas camadas: primeiro a potência quadrada, depois a cotangente composta com seno.
  • Pela regra da potência:
g'(x)=2\cot(\sin x)\cdot \frac{d}{dx}\big(\cot(\sin x)\big).
  • Agora derive \cot(\sin x) com a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\cot(\sin x)\big) = -\csc^{2}(\sin x)\cdot\frac{d}{dx}(\sin x) = -\csc^{2}(\sin x)\cdot\cos x.
  • Substituindo:
g'(x)=2\cot(\sin x)\cdot\big(-\csc^{2}(\sin x)\cos x\big) = -2\cot(\sin x)\csc^{2}(\sin x)\cos x.
Podemos escrever em termos apenas de seno e cosseno internos, já que \cot t=\dfrac{\cos t}{\sin t} e \csc t=\dfrac{1}{\sin t}. Uma forma mais compacta é
g'(x)=-2\cos x\cdot\frac{\cos(\sin x)}{\sin^{3}(\sin x)}.

Passo 5

Somando as derivadas das duas parcelas, a primeira derivada de y é
\boxed{y'=\dfrac{5^{-1/x}\ln 5}{x^{2}} - 2\cot(\sin x)\csc^{2}(\sin x)\cos x.}
(ou, equivalentemente,
y'=\dfrac{5^{-1/x}\ln 5}{x^{2}} - 2\cos x\cdot\frac{\cos(\sin x)}{\sin^{3}(\sin x)}.) \)

Passo 6

Agora calculamos a segunda derivada y''. Primeiro derive a parte correspondente à exponencial:
A(x)=\dfrac{5^{-1/x}\ln 5}{x^{2}}=\ln 5\cdot 5^{-1/x}\cdot x^{-2}.
Use produto (duas funções p(x)=5^{-1/x} e q(x)=\ln 5\cdot x^{-2}). Já sabemos p'(x)=5^{-1/x}\ln 5\cdot \dfrac{1}{x^{2}} e q'(x)=-2\ln 5\cdot x^{-3}. Assim
A'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
Substituindo e simplificando obtemos
A'(x)=5^{-1/x}(\ln 5)^{2}x^{-4}-2\cdot 5^{-1/x}\ln 5\;x^{-3}.
Fatorando convenientemente,
\boxed{A'(x)=\dfrac{5^{-1/x}\ln 5}{x^{4}}\big(\ln 5 - 2x\big).}

Passo 7

Agora derive a parte trigonométrica já obtida em g'(x). Para lembrar,
g'(x)=-2\cos x\cdot\frac{\cos(\sin x)}{\sin^{3}(\sin x)}.
Defina
C(x)=\cos x\cdot\cos(\sin x)\cdot\sin^{-3}(\sin x),
de modo que g'(x)=-2C(x). Então g''(x)=-2C'(x). Vamos achar C'(x) usando a regra do produto para três fatores f_1=\cos x, f_2=\cos(\sin x), f_3=\sin^{-3}(\sin x).
Calcule as derivadas parciais:
  • f_1' = -\sin x.
  • f_2' = -\sin(\sin x)\cdot\cos x (cadeia: \dfrac{d}{dx}\cos(\sin x) = -\sin(\sin x)\cdot(\sin x)', e (\sin x)'=\cos x).
  • f_3' = -3\sin^{-4}(\sin x)\cdot\cos(\sin x)\cdot\cos x (cadeia: derive \sin^{-3}(u) com u=\sin x).
Agora a soma das três parcelas (produto) dá
\begin{aligned} C'(x) &= f_1'f_2f_3 + f_1 f_2' f_3 + f_1 f_2 f_3'\\[4pt] &= -\sin x\cdot\cos(\sin x)\cdot\sin^{-3}(\sin x) \\\ &\quad - \cos^{2}x\cdot\sin(\sin x)\cdot\sin^{-3}(\sin x) \\\ &\quad - 3\cos^{2}x\cdot\cos^{2}(\sin x)\cdot\sin^{-4}(\sin x). \end{aligned}
Portanto
g''(x)=-2C'(x)=
\boxed{\,2\sin x\cdot\frac{\cos(\sin x)}{\sin^{3}(\sin x)} +2\cos^{2}x\cdot\frac{\sin(\sin x)}{\sin^{3}(\sin x)} +6\cos^{2}x\cdot\frac{\cos^{2}(\sin x)}{\sin^{4}(\sin x)}\,.}
(Essa é a forma explícita de g''(x); cada termo veio diretamente das três parcelas do produto ao derivar.)]

Passo 8

Juntando A'(x) e g''(x), a segunda derivada completa é
\boxed{y''= \dfrac{5^{-1/x}\ln 5}{x^{4}}\big(\ln 5 - 2x\big) +2\sin x\cdot\frac{\cos(\sin x)}{\sin^{3}(\sin x)} +2\cos^{2}x\cdot\frac{\sin(\sin x)}{\sin^{3}(\sin x)} +6\cos^{2}x\cdot\frac{\cos^{2}(\sin x)}{\sin^{4}(\sin x)}.}

Resposta

y'=\dfrac{5^{-1/x}\ln 5}{x^{2}} - 2\cot(\sin x)\csc^{2}(\sin x)\cos x
y''=\dfrac{5^{-1/x}\ln 5}{x^{4}}\big(\ln 5 - 2x\big) +2\sin x\cdot\dfrac{\cos(\sin x)}{\sin^{3}(\sin x)} +2\cos^{2}x\cdot\dfrac{\sin(\sin x)}{\sin^{3}(\sin x)} +6\cos^{2}x\cdot\dfrac{\cos^{2}(\sin x)}{\sin^{4}(\sin x)}

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