Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a segunda derivada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada (primeira) da função
Também pede a segunda derivada (ou seja,
). Informações dadas e observações iniciais:
- A função é soma de duas partes: uma exponencial de base fixa
com expoente e uma função trigonométrica composta . - Vou usar as notações comuns em LaTeX:
para cotangente, para cossecante, para seno e para cosseno. Assim será escrita como .
Passo 2
Relembre as regras de derivação que vou aplicar (com explicações simples):
- Regra da cadeia: se
, então . Ou seja, deriva-se a função externa e multiplica-se pelo derivado da interna. - Derivada de potência simples:
. - Derivada de exponencial com base
: . Aqui é a constante natural log de . - Derivadas trigonométricas básicas:
-
. -
. -
, onde .
-
- Derivada de
é . (Derive para ver: .)
Passo 3
Derivada da primeira parcela
.
Aplicando a regra da exponencial:
Usando
, obtemos
Ou seja,
Passo 4
Derivada da segunda parcela
.
Trabalhamos em duas camadas: primeiro a potência quadrada, depois a cotangente composta com seno.
- Pela regra da potência:
- Agora derive
com a regra da cadeia:
- Substituindo:
Podemos escrever em termos apenas de seno e cosseno internos, já que
e
. Uma forma mais compacta é
Passo 5
Somando as derivadas das duas parcelas, a primeira derivada de
é
(ou, equivalentemente,
Passo 6
Agora calculamos a segunda derivada
. Primeiro derive a parte correspondente à exponencial:
Use produto (duas funções
e
). Já sabemos
e
. Assim
Substituindo e simplificando obtemos
Fatorando convenientemente,
Passo 7
Agora derive a parte trigonométrica já obtida em
. Para lembrar,
Defina
de modo que
. Então
. Vamos achar
usando a regra do produto para três fatores
,
,
.
Calcule as derivadas parciais:
-
. -
(cadeia: , e ). -
(cadeia: derive com ).
Agora a soma das três parcelas (produto) dá
Portanto
(Essa é a forma explícita de
; cada termo veio diretamente das três parcelas do produto ao derivar.)]
Passo 8
Juntando
e
, a segunda derivada completa é