Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a segunda derivada:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada primeira
e a derivada segunda
. Vou listar claramente o que queremos calcular:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (explicando como se fosse um passo-a-passo para a prova):
- Regra da cadeia: se
e , então . Em palavras: derivar a função externa em relação à interna e multiplicar pela derivada da interna. - Derivadas básicas úteis:
-
. -
. -
.
-
- Regra do produto:
.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Primeira derivada — aplicar a regra da cadeia de forma explícita:
Defina a função interna e a externa
.
Defina a função interna
- Primeiro calcule
. Como , usando a cadeia dentro de : Aqui está o porquê: derivada de é e dentro temos , cuja derivada é . - Agora
. Substituindo e :
Colocando de forma organizada:
Passo 4
Segunda derivada — derivar
. Temos
O fator
é constante, então
Agora aplicamos a regra do produto em
.
Passo 5
Calcule as derivadas parciais do produto:
- Já vimos que
(regra da cadeia, mesma conta do Passo 3). - E
.
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Factorizando
e simplificando:
Multiplicando pelo fator
que estava fora (veja Passo 4),
Ou seja
Também se pode escrever expandido: