Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} calcule também a segunda derivada:
y=e^{\operatorname{sen}(2 t)}

Passo 1

O enunciado dá a função
y = e^{\sin(2t)}
e pede a derivada primeira y' e a derivada segunda y''. Vou listar claramente o que queremos calcular:
  • Calcular y'=\dfrac{dy}{dt}.
  • Calcular y''=\dfrac{d^2y}{dt^2}.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicando como se fosse um passo-a-passo para a prova):
  • Regra da cadeia: se y=f(u) e u=g(t), então \dfrac{dy}{dt}=f'(u)\,g'(t). Em palavras: derivar a função externa em relação à interna e multiplicar pela derivada da interna.
  • Derivadas básicas úteis:
    • \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
    • \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
    • \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dt}[u(t)v(t)]=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Primeira derivada — aplicar a regra da cadeia de forma explícita:
Defina a função interna \,u(t)=\sin(2t)\, e a externa y=e^{u}.
  • Primeiro calcule u'(t). Como u(t)=\sin(2t), usando a cadeia dentro de u: u'(t)=\cos(2t)\cdot \frac{d}{dt}(2t)=\cos(2t)\cdot 2=2\cos(2t).Aqui está o porquê: derivada de \sin é \cos e dentro temos 2t, cuja derivada é 2.
  • Agora y'(t)=\frac{d}{du}e^{u}\cdot u'(t)=e^{u}\cdot u'(t). Substituindo u=\sin(2t) e u'(t)=2\cos(2t): y' = e^{\sin(2t)}\cdot 2\cos(2t).
Colocando de forma organizada:
y' = 2\,e^{\sin(2t)}\cos(2t).

Passo 4

Segunda derivada — derivar y'. Temos
y' = 2\bigl(e^{\sin(2t)}\bigr)\cos(2t).
O fator 2 é constante, então
y'' = 2\frac{d}{dt}\!\left[ e^{\sin(2t)}\cos(2t)\right].
Agora aplicamos a regra do produto em e^{\sin(2t)}\cdot\cos(2t).

Passo 5

Calcule as derivadas parciais do produto:
  • Já vimos que \dfrac{d}{dt}e^{\sin(2t)} = e^{\sin(2t)}\cdot 2\cos(2t) (regra da cadeia, mesma conta do Passo 3).
  • E \dfrac{d}{dt}\cos(2t) = -\sin(2t)\cdot 2 = -2\sin(2t).
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dt}\!\left[ e^{\sin(2t)}\cos(2t)\right] = \bigl(2 e^{\sin(2t)}\cos(2t)\bigr)\cos(2t) + e^{\sin(2t)}\bigl(-2\sin(2t)\bigr).

Passo 6

Factorizando e^{\sin(2t)} e simplificando:
\frac{d}{dt}\!\left[ e^{\sin(2t)}\cos(2t)\right] = e^{\sin(2t)}\bigl(2\cos^2(2t) - 2\sin(2t)\bigr).
Multiplicando pelo fator 2 que estava fora (veja Passo 4),
y'' = 2\cdot e^{\sin(2t)}\bigl(2\cos^2(2t) - 2\sin(2t)\bigr).
Ou seja
y'' = 4\,e^{\sin(2t)}\bigl(\cos^2(2t) - \sin(2t)\bigr).
Também se pode escrever expandido:
y'' = 4e^{\sin(2t)}\cos^2(2t) - 4e^{\sin(2t)}\sin(2t).

Resposta

y' = 2\,e^{\sin(2t)}\cos(2t)
y'' = 4\,e^{\sin(2t)}\bigl(\cos^2(2t)-\sin(2t)\bigr)

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