Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar.
Enunciado: Calcular a derivada da função $ g(x) = \left(4x^{3} - 3x^{2} - \sqrt{2}\right)^{4} $.
Conteúdo da matéria: Derivação de funções compostas utilizando a regra da cadeia.
O que precisamos: Conhecer a regra da cadeia para derivar funções compostas, e saber derivar polinômios e constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos precisar para aplicar a regra da cadeia.
- Função interna: $ u(x) = 4x^{3} - 3x^{2} - \sqrt{2} $
- Função externa: $ v(u) = u^{4} $
Passo 3
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta $ v(u(x)) $ é:
Ou seja, primeiro derivamos a função externa em relação a $ u $ e depois multiplicamos pela derivada da função interna em relação a $ x $.
Passo 4
Vamos derivar a função externa $ v(u) = u^{4} $:
Passo 5
Agora, vamos derivar a função interna $ u(x) = 4x^{3} - 3x^{2} - \sqrt{2} $:
Note que a derivada de uma constante (
) é zero.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia, substituímos $ v’(u) $ e $ u’(x) $ na fórmula da derivada composta:
Substituindo $ u(x) $ de volta na expressão:
Resposta
A derivada da função é: