Calcule a derivada das seguintes funções:
(1 pt) g(x)=(4 x^3-3 x^2-raiz2)^4

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar.
Enunciado: Calcular a derivada da função $ g(x) = \left(4x^{3} - 3x^{2} - \sqrt{2}\right)^{4} $.
Conteúdo da matéria: Derivação de funções compostas utilizando a regra da cadeia.
O que precisamos: Conhecer a regra da cadeia para derivar funções compostas, e saber derivar polinômios e constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos precisar para aplicar a regra da cadeia.
  • Função interna: $ u(x) = 4x^{3} - 3x^{2} - \sqrt{2} $
  • Função externa: $ v(u) = u^{4} $

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta $ v(u(x)) $ é:
v(u(x))
Ou seja, primeiro derivamos a função externa em relação a $ u $ e depois multiplicamos pela derivada da função interna em relação a $ x $.

Passo 4

Vamos derivar a função externa $ v(u) = u^{4} $:
v(u) = u^4

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna $ u(x) = 4x^{3} - 3x^{2} - \sqrt{2} $:
u(x) = 4x^3 - 3x^2 - raiz2
Note que a derivada de uma constante ( u'(x) = 12x^2 - 6x ) é zero.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, substituímos $ v’(u) $ e $ u’(x) $ na fórmula da derivada composta:
v'(u)
Substituindo $ u(x) $ de volta na expressão:
u'(x)

Resposta

A derivada da função é:
g'(x) = 4(4x^3 - 3x^2 - raiz2)^3 cdot (12x^2 - 6x)

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