Calcule a derivada das seguintes funções usando a regra da cadeia.
\left(x{2}+1\right){4}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{4}
e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes: a função é uma composição de uma função externa elevada à quarta potência e uma função interna quadrática x^{2}+1. Não há mais dados numéricos.

Passo 2

Vamos lembrar e entender a regra da cadeia (essa é a ferramenta principal aqui). Seja uma função composta
f(x)=F\big(g(x)\big),
onde g(x) é a função interna e F(u) é a função externa com u=g(x). A regra da cadeia diz que a derivada de f é
f'(x)=F'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
O que isso significa, em palavras simples: primeiro deriva-se a função externa como se sua variável fosse uma letra qualquer u, depois substitui-se u por g(x) e por fim multiplica-se pelo derivado da função interna g'(x). É como “descascar” a composição: derivas a casca externa e depois multiplicas pelo que está por dentro.
Exemplo rápido e intuitivo: se h(x)=(3x+1)^{2}, então trata-se de F(u)=u^{2} e g(x)=3x+1. Derivando, F'(u)=2u e g'(x)=3, logo h'(x)=2(3x+1)\cdot 3.

Passo 3

Identificar função externa e interna para o nosso caso.
  • Função externa: F(u)=u^{4}. Aqui u representa a “coisa” que está sendo elevada à quarta potência.
  • Função interna: g(x)=x^{2}+1. É o conteúdo que fica dentro da potência.
Sempre escreva assim para não se confundir: pense f(x)=F\big(g(x)\big) com u=g(x).

Passo 4

Derivar a função externa F(u)=u^{4} em relação a u usando a regra do poder (power rule). A regra do poder diz que, para u^{n},
\frac{d}{du}\big(u^{n}\big)=n\,u^{n-1}.
Aplicando com n=4:
F'(u)=4u^{3}.
Derivar a função interna g(x)=x^{2}+1 em relação a x. A derivada de x^{2} é 2x e a de uma constante é 0, então
g'(x)=2x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia: substitui u por g(x) na derivada da externa e multiplica pelo derivado da interna. Assim
f'(x)=F'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)=4\big(g(x)\big)^{3}\cdot g'(x).
Substituindo g(x)=x^{2}+1 e g'(x)=2x, obtemos
f'(x)=4\big(x^{2}+1\big)^{3}\cdot 2x.

Passo 6

Fazer a simplificação final multiplicando as constantes:
4\cdot 2x=8x,
portanto a expressão simplificada da derivada é
f'(x)=8x\big(x^{2}+1\big)^{3}.

Resposta

f'(x)=8x\big(x^{2}+1\big)^{3}

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