Calcule a derivada das seguintes funções usando a regra da cadeia.
\left(x{2}+1\right){4}
\left(x{2}+1\right){4}
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes: a função é uma composição de uma função externa elevada à quarta potência e uma função interna quadrática . Não há mais dados numéricos.
Informações relevantes: a função é uma composição de uma função externa elevada à quarta potência e uma função interna quadrática
Passo 2
Vamos lembrar e entender a regra da cadeia (essa é a ferramenta principal aqui). Seja uma função composta
onde
é a função interna e
é a função externa com
. A regra da cadeia diz que a derivada de
é
O que isso significa, em palavras simples: primeiro deriva-se a função externa como se sua variável fosse uma letra qualquer
, depois substitui-se
por
e por fim multiplica-se pelo derivado da função interna
. É como “descascar” a composição: derivas a casca externa e depois multiplicas pelo que está por dentro.
Exemplo rápido e intuitivo: se
, então trata-se de
e
. Derivando,
e
, logo
.
Passo 3
Identificar função externa e interna para o nosso caso.
- Função externa:
. Aqui representa a “coisa” que está sendo elevada à quarta potência. - Função interna:
. É o conteúdo que fica dentro da potência.
Sempre escreva assim para não se confundir: pense
com
.
Passo 4
Derivar a função externa
em relação a
usando a regra do poder (power rule). A regra do poder diz que, para
,
Aplicando com
:
Derivar a função interna
em relação a
. A derivada de
é
e a de uma constante é
, então
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia: substitui
por
na derivada da externa e multiplica pelo derivado da interna. Assim
Substituindo
e
, obtemos
Passo 6
Fazer a simplificação final multiplicando as constantes:
portanto a expressão simplificada da derivada é