- O responsável pelos livros de economia de uma grande editora estima que se
mil exemplares de um novo livro-texto forem distribuídos gratuitamente a professores, as vendas do livro no primeiro ano serão de aproximadamente
mil exemplares. No momento, a intenção é distribuir 9.000 exemplares gratuitos.
(a) Use os métodos de análise marginal para estimar o aumento nas vendas se a editora decidir distribuir mais 1.000 exemplares gratuitos.
(b) Calcule qual será o aumento real nas vendas se a editora distribuir mais 1.000 exemplares gratuitos. A estimativa do item (a) é boa?
(a) Use os métodos de análise marginal para estimar o aumento nas vendas se a editora decidir distribuir mais 1.000 exemplares gratuitos.
(b) Calcule qual será o aumento real nas vendas se a editora distribuir mais 1.000 exemplares gratuitos. A estimativa do item (a) é boa?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Função das vendas (em milhares de exemplares) em função de
(número de exemplares gratuitos, em milhares): . - Situação atual: pretendem distribuir
exemplares gratuitos, isto é, (pois está em milhares). - Perguntas:
(a) Usar análise marginal para estimar o aumento nas vendas se distribuírem maisexemplares gratuitos (ou seja, para mil).
(b) Calcular o aumento real nas vendas ao distribuir maisexemplares e avaliar se a estimativa do item (a) é boa.
Observação necessária (para evitar resultados absurdos): a fórmula dada
cresce negativamente para
positivos (ficaria muito negativa para
), o que não faz sentido prático. É muito provável que o enunciado correto seja
e a partir daqui vou assumir esta forma (ou seja, assumo que o expoente tem sinal negativo). Se essa suposição estiver incorreta o resultado físico não fará sentido; mas com essa forma as vendas aumentam quando se distribuem mais exemplares, o que bate com a intuição do problema.
Passo 2
Entendendo a “análise marginal” e a aproximação usada.
- A ideia de marginal aqui é usar a derivada
para estimar quanto muda quando muda um pouco. A derivada em mede a taxa instantânea de variação de por unidade de . - Notação e unidades:
-
está em milhares de exemplares gratuitos. -
está em milhares de exemplares vendidos no primeiro ano. - Portanto
tem unidade “milhares de exemplares vendidos por mil exemplares gratuitos” — se multiplicarmos por (em milhares), obtemos a mudança aproximada em milhares de exemplares vendidos.
-
- A aproximação linear (marginal) é:
quando
é pequeno. Vou aplicar isso em (a).
Passo 3
Calcular a derivada
(passo a passo).
Assumindo
, usamos a regra da cadeia para derivar
.
- Derivada de
em relação a é . - Multiplicando pelo fator
temos
Expliquei cada fator: o
vem da constante multiplicativa, o
vem da derivada do exponencial interno, e o produto dos sinais deu positivo, o que significa que mais exemplares grátis aumentam as vendas, como faz sentido.
Passo 4
Avaliar a estimativa marginal (item a): calcular
e estimar
para
.
- Primeiro calcule
. Podemos usar a decomposição . Valores aproximados conhecidos: portanto - Agora
Isso significa mil = aproximadamente exemplares vendidos a mais por cada exemplares gratuitos adicionais. - Como
(ou seja, mais grátis),
Passo 5
Calcular o aumento real nas vendas (item b): calcular
.
- Calcule
: - Calcule
: Usando , - Aumento real:
Em exemplares: mil exemplares.
Passo 6
Comparar estimativa marginal e aumento real e avaliar se a estimativa é boa.
- Estimativa marginal:
mil exemplares. - Aumento real:
mil exemplares. - Diferença absoluta:
exemplares. - Erro relativo (aprox.):
, ou cerca de .
Interpretação prática e dica para prova: a aproximação linear usando
é boa quando
é pequeno em relação à escala onde a função curva muito. Aqui
em torno de
não é infinitesimal, então há um erro perceptível (
). Em muitas situações de estimativa rápida, um erro desse tamanho pode ser aceitável; mas para precisão numérica, é melhor calcular a variação real
. Para a prova, explique esse raciocínio: use derivada para estimativa rápida e a diferença real para verificar.
Resposta
(a) Estimativa (marginal):
exemplares.\n
(b) Aumento real: exemplares. A estimativa do item (a) superestimou em cerca de
exemplares (erro relativo
); é uma aproximação razoável para cálculo rápido, mas não muito precisa.
(b) Aumento real: