1. O responsável pelos livros de economia de uma grande editora estima que se x mil exemplares de um novo livro-texto forem distribuídos gratuitamente a professores, as vendas do livro no primeiro ano serão de aproximadamente f(x)=15-20 e^{0.3 x} mil exemplares. No momento, a intenção é distribuir 9.000 exemplares gratuitos.
    (a) Use os métodos de análise marginal para estimar o aumento nas vendas se a editora decidir distribuir mais 1.000 exemplares gratuitos.
    (b) Calcule qual será o aumento real nas vendas se a editora distribuir mais 1.000 exemplares gratuitos. A estimativa do item (a) é boa?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Função das vendas (em milhares de exemplares) em função de x (número de exemplares gratuitos, em milhares): f(x)=15-20e^{0,3x}.
  • Situação atual: pretendem distribuir 9{,}000 exemplares gratuitos, isto é, x=9 (pois x está em milhares).
  • Perguntas:
    (a) Usar análise marginal para estimar o aumento nas vendas se distribuírem mais 1{,}000 exemplares gratuitos (ou seja, para \Delta x=1 mil).
    (b) Calcular o aumento real nas vendas ao distribuir mais 1{,}000 exemplares e avaliar se a estimativa do item (a) é boa.
Observação necessária (para evitar resultados absurdos): a fórmula dada f(x)=15-20e^{0,3x} cresce negativamente para x positivos (ficaria muito negativa para x=0), o que não faz sentido prático. É muito provável que o enunciado correto seja
f(x)=15-20e^{-0,3x},
e a partir daqui vou assumir esta forma (ou seja, assumo que o expoente tem sinal negativo). Se essa suposição estiver incorreta o resultado físico não fará sentido; mas com essa forma as vendas aumentam quando se distribuem mais exemplares, o que bate com a intuição do problema.

Passo 2

Entendendo a “análise marginal” e a aproximação usada.
  • A ideia de marginal aqui é usar a derivada f'(x) para estimar quanto muda f quando x muda um pouco. A derivada em x mede a taxa instantânea de variação de f por unidade de x.
  • Notação e unidades:
    • x está em milhares de exemplares gratuitos.
    • f(x) está em milhares de exemplares vendidos no primeiro ano.
    • Portanto f'(x) tem unidade “milhares de exemplares vendidos por mil exemplares gratuitos” — se multiplicarmos f'(x) por \Delta x (em milhares), obtemos a mudança aproximada em milhares de exemplares vendidos.
  • A aproximação linear (marginal) é:
\Delta f \approx f'(x)\,\Delta x,
quando \Delta x é pequeno. Vou aplicar isso em (a).

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) (passo a passo).
Assumindo \displaystyle f(x)=15-20e^{-0,3x}, usamos a regra da cadeia para derivar e^{-0,3x}.
  • Derivada de e^{-0,3x} em relação a x é -0,3e^{-0,3x}.
  • Multiplicando pelo fator -20 temos
f'(x) = -20\cdot\big(-0,3e^{-0,3x}\big) = 6e^{-0,3x}.
Expliquei cada fator: o -20 vem da constante multiplicativa, o -0,3 vem da derivada do exponencial interno, e o produto dos sinais deu positivo, o que significa que mais exemplares grátis aumentam as vendas, como faz sentido.

Passo 4

Avaliar a estimativa marginal (item a): calcular f'(9) e estimar \Delta f para \Delta x=1.
  • Primeiro calcule e^{-0,3\cdot 9}=e^{-2,7}. Podemos usar a decomposição e^{-2,7}=e^{-3}\,e^{0,3}. Valores aproximados conhecidos: e^{-3}\approx0,049787\quad\text{e}\quad e^{0,3}\approx1,349859,portanto e^{-2,7}\approx0,049787\cdot1,349859\approx0,0672055.
  • Agora f'(9)=6e^{-2,7}\approx6\cdot0,0672055\approx0,403233\\ \text{(em milhares)}.Isso significa f'(9)\approx0,403233 mil = aproximadamente 403{,}233 exemplares vendidos a mais por cada 1{,}000 exemplares gratuitos adicionais.
  • Como \Delta x=1 (ou seja, mais 1{,}000 grátis), \text{Estimativa marginal: }\Delta f\approx f'(9)\cdot1\approx0,403233\\ \text{mil} \approx 403\\ \text{exemplares}.

Passo 5

Calcular o aumento real nas vendas (item b): calcular f(10)-f(9).
  • Calcule f(9): f(9)=15-20e^{-0,3\cdot9}=15-20e^{-2,7}\approx15-20\cdot0,0672055\approx15-1,344110\approx13,655890\\ \text{(mil)}.
  • Calcule f(10): f(10)=15-20e^{-0,3\cdot10}=15-20e^{-3}.Usando e^{-3}\approx0,049787, f(10)\approx15-20\cdot0,049787\approx15-0,995741\approx14,004259\\ \text{(mil)}.
  • Aumento real: \Delta f_{\text{real}}=f(10)-f(9)\approx14,004259-13,655890\approx0,348369\\ \text{(mil)}.Em exemplares: 0,348369 mil \approx 348{,}369 exemplares.

Passo 6

Comparar estimativa marginal e aumento real e avaliar se a estimativa é boa.
  • Estimativa marginal: \approx0,403233 mil \approx 403{,}233 exemplares.
  • Aumento real: \approx0,348369 mil \approx 348{,}369 exemplares.
  • Diferença absoluta: 403{,}233-348{,}369\approx54{,}864 exemplares.
  • Erro relativo (aprox.): \dfrac{54{,}864}{348{,}369}\approx0{,}1576, ou cerca de 15{,}8\%.
Interpretação prática e dica para prova: a aproximação linear usando f'(x) é boa quando \Delta x é pequeno em relação à escala onde a função curva muito. Aqui \Delta x=1 em torno de x=9 não é infinitesimal, então há um erro perceptível ( \sim16\%). Em muitas situações de estimativa rápida, um erro desse tamanho pode ser aceitável; mas para precisão numérica, é melhor calcular a variação real f(x+\Delta x)-f(x). Para a prova, explique esse raciocínio: use derivada para estimativa rápida e a diferença real para verificar.

Resposta

(a) Estimativa (marginal): \Delta f\approx0,403233\\ \text{mil}\approx403{,}233 exemplares.\n
(b) Aumento real: \Delta f=f(10)-f(9)\approx0,348369\\ \text{mil}\approx348{,}369 exemplares. A estimativa do item (a) superestimou em cerca de 54{,}864 exemplares (erro relativo \approx15{,}8\%); é uma aproximação razoável para cálculo rápido, mas não muito precisa.

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