Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras operacionais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é uma razão entre duas funções: numerador
e denominador . - Não há valores numéricos adicionais nem imagens.
O que é pedido: - Encontrar
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Plano (apenas indicando o caminho que será seguido, sem resolver ainda):
- Usar a regra do quociente para derivar uma função da forma
. - Saber que a derivada de
é .
Na etapa seguinte aplico essas regras passo a passo.
Passo 3
Defino as partes da função para aplicar a regra do quociente:
Agora calculo as derivadas de
e
:
Explicação curta: a constante
tem derivada
e a derivada de
é ela mesma,
.
Passo 4
Escrevo a fórmula da regra do quociente. Para
vale
Vou substituir
pelas expressões que obtivemos.
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Agora faço a simplificação do numerador passo a passo.
Passo 6
Expando o numerador:
Agrupando termos semelhantes:
Portanto o numerador simplifica para
.
Passo 7
Substituindo a simplificação final na expressão da derivada obtemos
Passo 8
Verificação alternativa (curta, só para reforçar a ideia): fazendo a substituição
temos
. Derivando em relação a
:
Como
, pela regra da cadeia
confirmando o resultado anterior.