Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras operacionais:
h(x)=\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
h(x)=\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}}.
Informações dadas:
  • A função é uma razão entre duas funções: numerador 1+e^{x} e denominador 1-e^{x}.
  • Não há valores numéricos adicionais nem imagens.
    O que é pedido:
  • Encontrar h'(x), a derivada de h em termos de x.

Passo 2

Plano (apenas indicando o caminho que será seguido, sem resolver ainda):
  • Usar a regra do quociente para derivar uma função da forma \dfrac{u(x)}{v(x)}.
  • Saber que a derivada de e^{x} é e^{x}.
    Na etapa seguinte aplico essas regras passo a passo.

Passo 3

Defino as partes da função para aplicar a regra do quociente:
u(x)=1+e^{x},\qquad v(x)=1-e^{x}.
Agora calculo as derivadas de u e v:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1+e^{x}\bigr)=0+e^{x}=e^{x},
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1-e^{x}\bigr)=0-e^{x}=-e^{x}.
Explicação curta: a constante 1 tem derivada 0 e a derivada de e^{x} é ela mesma, e^{x}.

Passo 4

Escrevo a fórmula da regra do quociente. Para \displaystyle h(x)=\frac{u(x)}{v(x)} vale
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
Vou substituir u,u',v,v' pelas expressões que obtivemos.

Passo 5

Substituindo na fórmula:
h'(x)=\frac{e^{x}\bigl(1-e^{x}\bigr)-\bigl(1+e^{x}\bigr)\bigl(-e^{x}\bigr)}{\bigl(1-e^{x}\bigr)^{2}}.
Agora faço a simplificação do numerador passo a passo.

Passo 6

Expando o numerador:
e^{x}\bigl(1-e^{x}\bigr)-\bigl(1+e^{x}\bigr)\bigl(-e^{x}\bigr) = e^{x}-e^{2x} + e^{x} + e^{2x}.
Agrupando termos semelhantes:
e^{x}-e^{2x}+e^{x}+e^{2x} = e^{x}+e^{x} + (-e^{2x}+e^{2x}) = 2e^{x} + 0 = 2e^{x}.
Portanto o numerador simplifica para 2e^{x}.

Passo 7

Substituindo a simplificação final na expressão da derivada obtemos
h'(x)=\frac{2e^{x}}{\bigl(1-e^{x}\bigr)^{2}}.

Passo 8

Verificação alternativa (curta, só para reforçar a ideia): fazendo a substituição u=e^{x} temos h=(1+u)/(1-u). Derivando em relação a u:
\frac{dh}{du}=\frac{(1-u)- (1+u)(-1)}{(1-u)^{2}}=\frac{1-u+1+u}{(1-u)^{2}}=\frac{2}{(1-u)^{2}}.
Como \dfrac{du}{dx}=e^{x}, pela regra da cadeia
h'(x)=\frac{dh}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{2}{(1-e^{x})^{2}}\cdot e^{x}=\frac{2e^{x}}{(1-e^{x})^{2}},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

h'(x)=\frac{2e^{x}}{(1-e^{x})^{2}}

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