Nos Exercícios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
n^2+(-1)^n n

Passo 1

Temos a sequência definida por an = n^2 + (-1)^n n. O objetivo é decidir se ela é crescente, decrescente ou não-monótona. Vamos usar teoria de monotonicidade de sequências, em particular analisar o sinal de an+1 - an.

Passo 2

Calculemos a diferença entre termos consecutivos: escrevemos
an+1 - an = l((n+1)^2 + (-1)^n+1(n+1)r) - l(n^2 + (-1)^n nr)

Passo 3

Separe em duas partes e simplifique o termo quadrático:
an+1 - an = (n+1)^2 - n^2 ;+ (-1)^n+1(n+1) - (-1)^n n
Como (n+1)^2 - n^2 = 2n+1 e -(-1)^n)=(-1)^n+1, temos
an+1 - an = (2n+1) + (-1)^n+1(n+1) + (-1)^n+1n

Passo 4

Agrupando os termos que têm ((-1)^{n+1}):
an+1 - an = (2n+1) + (-1)^n+1,(n+1 + n) = (2n+1)l(1 + (-1)^n+1r)
Agora analisamos dois casos: n par e n ímpar.

Passo 5

Para n par (digamos n=2k), temos (-1)^n+1 = -1, logo
an+1 - an = (2n+1)(1 - 1) = 0
Para n ímpar (digamos n=2k+1), temos (-1)^n+1 = +1, logo
an+1 - an = (2n+1)(1 + 1) = 2(2n+1) > 0
Ou seja, nunca fica negativo e às vezes é zero.

Passo 6

Como an+1 - an é sempre maior ou igual a zero, a sequência nunca decresce. Portanto ela é monotonicamente não-decrescente, ou seja, crescente (permitindo termos iguais).

Resposta

A sequência é crescente (não-decrescente).

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