Nos Exercícios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
Passo 1
Temos a sequência definida por
. O objetivo é decidir se ela é crescente, decrescente ou não-monótona. Vamos usar teoria de monotonicidade de sequências, em particular analisar o sinal de
.
Passo 2
Calculemos a diferença entre termos consecutivos: escrevemos
Passo 3
Separe em duas partes e simplifique o termo quadrático:
Como
e
, temos
Passo 4
Agrupando os termos que têm ((-1)^{n+1}):
Agora analisamos dois casos: n par e n ímpar.
Passo 5
Para n par (digamos
), temos
, logo
Para n ímpar (digamos
), temos
, logo
Ou seja, nunca fica negativo e às vezes é zero.
Passo 6
Como
é sempre maior ou igual a zero, a sequência nunca decresce. Portanto ela é monotonicamente não-decrescente, ou seja, crescente (permitindo termos iguais).
Resposta
A sequência é crescente (não-decrescente).