Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
integral-infty^0 c^x d x

Passo 1

A questão pede para estudar a integral imprópria integral-infty^0c^x,dx, ou seja, decidir se ela converge ou diverge para diferentes valores de c>0 e, quando converge, calcular o valor do limite. Vamos precisar usar o conceito de integral imprópria e a antiderivada de c^x.

Passo 2

Para cneq1, sabemos que a antiderivada de c^x é
integral c^x,dx = c^xln c
Então podemos escrever a integral propriamente como limite:
$$
I©=\int_{-\infty}{0}cx,dx = \lim_{a\to-\infty}\int_{a}{0}cx,dx = \lim_{a\to-\infty}\left[\frac{c^x}{\ln c}\right]{x=a}^{0} = \lim{a\to-\infty}\frac{c^0 - c^a}{\ln c} = \lim_{a\to-\infty}\frac{1 - c^a}{\ln c}.
$$

Passo 3

Quando c>1, temos ln c>0 e c^ato0 ao fazermos ato-infty. Então
I(c)=1-0ln c=1ln c,
o que é finito: a integral converge para c>1.

Passo 4

Se 0, então ln c<0 e c^ato+infty quando ato-infty, fazendo o numerador 1-c^a tender a -infty enquanto o denominador é negativo, resultando em I(c)=+infty: diverge.

Passo 5

No caso especial c=1, a função vira 1^x=1 e a integral integral-infty^01,dx obviamente é infinita: também diverge.

Resposta

A integral converge somente para c>1, com valor 1/ln c. Para 0 diverge.

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