Determine se as integrais a seguir convergem ou divergem, e calcule o limite das que são convergentes.
Passo 1
A questão pede para estudar a integral imprópria
, ou seja, decidir se ela converge ou diverge para diferentes valores de
e, quando converge, calcular o valor do limite. Vamos precisar usar o conceito de integral imprópria e a antiderivada de
.
Passo 2
Para
, sabemos que a antiderivada de
é
Então podemos escrever a integral propriamente como limite:
$$
I©=\int_{-\infty}{0}cx,dx = \lim_{a\to-\infty}\int_{a}{0}cx,dx = \lim_{a\to-\infty}\left[\frac{c^x}{\ln c}\right]{x=a}^{0} = \lim{a\to-\infty}\frac{c^0 - c^a}{\ln c} = \lim_{a\to-\infty}\frac{1 - c^a}{\ln c}.
$$
Passo 3
Quando
, temos
e
ao fazermos
. Então
o que é finito: a integral converge para
.
Passo 4
Se
, então
e
quando
, fazendo o numerador
tender a
enquanto o denominador é negativo, resultando em
: diverge.
Passo 5
No caso especial
, a função vira
e a integral
obviamente é infinita: também diverge.
Resposta
A integral converge somente para
, com valor
. Para
diverge.