Calcule a derivada das seguintes funções.
y=\operatorname{arc} \tan (3 x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função y = \arctan(3x) e pede sua derivada. O conteúdo aqui é derivação de função composta, que resolvemos usando a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = 3x.
Calculamos a derivada de u:
u'(x) = 3.

Passo 3

Sabemos que, para y = \arctan(u), vale
\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)}{1 + [u(x)]^2}.
Substituindo u(x)=3x e u'(x)=3, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{3}{1 + (3x)^2} = \frac{3}{1 + 9x^2}.

Resposta

y' = \frac{3}{1 + 9x^2}.

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