Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de segunda ordem da função
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A expressão da função é
. - Devemos encontrar
, a segunda derivada. - Observação importante (da própria função): o denominador fica zero em
, então a função e suas derivadas não estão definidas nesse ponto.
Passo 2
Vamos lembrar a regra do quociente (essa é a ferramenta que normalmente usamos quando temos uma razão de duas funções). Se
então a derivada é
Aqui,
é o numerador e
é o denominador. No nosso caso:
Calculemos
e
:
Passo 3
Aplique a regra do quociente substituindo
:
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
Portanto
Passo 4
Para facilitar a segunda derivada, é útil reescrever
como uma potência:
Vou lembrar rapidamente a regra da cadeia combinada com a regra da potência: se temos
, então
Aqui
e
. Também temos o fator constante
à frente que permanece multiplicando.
Passo 5
Aplicando a regra da potência + cadeia a
:
E
. Então
Passo 6
Agora multiplicamos pelo coeficiente
que estava em
:
Reescrevendo em forma de fração:
Passo 7
Resumo final e observação sobre domínio:
- A segunda derivada é
. - Lembre-se de que essa expressão só faz sentido para
(onde o denominador zera). Força aí — você já pegou o método: regra do quociente para a primeira derivada e regra da potência+cadeia para a segunda!