Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
\frac{x+3}{2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de segunda ordem da função
f(x)=\frac{x+3}{2x+3}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A expressão da função é \displaystyle f(x)=\frac{x+3}{2x+3}.
  • Devemos encontrar f''(x), a segunda derivada.
  • Observação importante (da própria função): o denominador fica zero em x=-\tfrac{3}{2}, então a função e suas derivadas não estão definidas nesse ponto.

Passo 2

Vamos lembrar a regra do quociente (essa é a ferramenta que normalmente usamos quando temos uma razão de duas funções). Se
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então a derivada é
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui, u(x) é o numerador e v(x) é o denominador. No nosso caso:
u(x)=x+3,\qquad v(x)=2x+3.
Calculemos u'(x) e v'(x):
u'(x)=1,\qquad v'(x)=2.

Passo 3

Aplique a regra do quociente substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\frac{1\cdot(2x+3)-(x+3)\cdot 2}{(2x+3)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
1\cdot(2x+3)=2x+3,
(x+3)\cdot 2=2x+6,
2x+3-(2x+6)=2x+3-2x-6=-3.
Portanto
f'(x)=\frac{-3}{(2x+3)^{2}}.

Passo 4

Para facilitar a segunda derivada, é útil reescrever f'(x) como uma potência:
f'(x)=-3(2x+3)^{-2}.
Vou lembrar rapidamente a regra da cadeia combinada com a regra da potência: se temos g(x)=(h(x))^{n}, então
g'(x)=n\,(h(x))^{n-1}\cdot h'(x).
Aqui h(x)=2x+3 e n=-2. Também temos o fator constante -3 à frente que permanece multiplicando.

Passo 5

Aplicando a regra da potência + cadeia a (2x+3)^{-2}:
\frac{d}{dx}\big[(2x+3)^{-2}\big]=-2(2x+3)^{-3}\cdot\frac{d}{dx}(2x+3).
E \dfrac{d}{dx}(2x+3)=2. Então
\frac{d}{dx}\big[(2x+3)^{-2}\big]=-2(2x+3)^{-3}\cdot 2=-4(2x+3)^{-3}.

Passo 6

Agora multiplicamos pelo coeficiente -3 que estava em f'(x):
f''(x)=-3\cdot\big[-4(2x+3)^{-3}\big]=12(2x+3)^{-3}.
Reescrevendo em forma de fração:
f''(x)=\frac{12}{(2x+3)^{3}}.

Passo 7

Resumo final e observação sobre domínio:
  • A segunda derivada é \displaystyle f''(x)=\frac{12}{(2x+3)^{3}}.
  • Lembre-se de que essa expressão só faz sentido para x\neq -\tfrac{3}{2} (onde o denominador zera). Força aí — você já pegou o método: regra do quociente para a primeira derivada e regra da potência+cadeia para a segunda!

Resposta

f''(x)=\dfrac{12}{(2x+3)^{3}}

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