Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
\frac{2 x+3}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada de segunda ordem da função
f(x)=\frac{2x+3}{x^{2}-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é racional, definida para x tais que x^{2}-1\neq 0, isto é, x\neq\pm1.
  • O objetivo final é encontrar f''(x), a segunda derivada de f.

Passo 2

Escolha do método: para derivar duas vezes uma fração, existem várias opções (regra do quociente duas vezes, ou reescrever a função de forma mais simples e derivar). Vou usar decomposição em frações parciais porque ela transforma a função em somas de potências simples (x-a)^{-1}, cujas derivadas são rápidas e com menos chance de erro algébrico na prova. Isso torna as contas mais fáceis de fazer à mão.

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{2x+3}{x^{2}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}-1=(x-1)(x+1) obtemos a identidade
2x+3 = A(x+1)+B(x-1).
Agora igualamos coeficientes. Desenvolvendo o lado direito:
A(x+1)+B(x-1)=(A+B)x+(A-B).
Comparando coeficientes com 2x+3 chega-se ao sistema
\begin{cases} A+B=2,\\[4pt] A-B=3. \end{cases}
Somando as equações: 2A=5\Rightarrow A=\tfrac{5}{2}\]. Então \(B=2-A=2-\tfrac{5}{2}=-\tfrac{1}{2}.]

Passo 4

Reescrevemos a função usando os valores encontrados:
f(x)=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}.
Para facilitar a diferenciação, escrevemos em potências:
f(x)=\frac{5}{2}(x-1)^{-1}-\frac{1}{2}(x+1)^{-1}.

Passo 5

Derivada primeira: usaremos a regra da potência e a regra da cadeia simples. Lembrete rápido: a regra da potência diz que \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Para uma função do tipo (x-a)^{n}, a derivada é n(x-a)^{n-1} porque a derivada interna de x-a é 1. Aplicando isso:
\frac{d}{dx}(x-1)^{-1} = -1\cdot(x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^{2}}
e
\frac{d}{dx}(x+1)^{-1} = -1\cdot(x+1)^{-2} = -\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Logo,
f'(x)=\frac{5}{2}\left(-\frac{1}{(x-1)^{2}}\right)-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right) = -\frac{5}{2}\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{2}\frac{1}{(x+1)^{2}}.

Passo 6

Derivada segunda: derivamos f'(x) termo a termo. Novamente usamos a regra da potência. Para uma função (x-a)^{-2} temos
\frac{d}{dx}(x-a)^{-2} = -2(x-a)^{-3} = -\frac{2}{(x-a)^{3}}.
Aplicando isso aos termos de f'(x):
  • Para o primeiro termo -\dfrac{5}{2}(x-1)^{-2}, a derivada é
-\frac{5}{2}\cdot\big(-2\big)(x-1)^{-3} = \;5\,(x-1)^{-3}=\frac{5}{(x-1)^{3}}.
  • Para o segundo termo \dfrac{1}{2}(x+1)^{-2}, a derivada é
\frac{1}{2}\cdot\big(-2\big)(x+1)^{-3} = -1\,(x+1)^{-3} = -\frac{1}{(x+1)^{3}}.
Somando os resultados:
f''(x)=\frac{5}{(x-1)^{3}}-\frac{1}{(x+1)^{3}}.

Passo 7

Opcionalmente, podemos juntar os termos em uma única fração com denominador (x-1)^{3}(x+1)^{3}=(x^{2}-1)^{3}. Calculamos o numerador:
5(x+1)^{3}-(x-1)^{3}.
Expandindo (x+1)^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1 e (x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1, obtemos
5(x+1)^{3}-(x-1)^{3}=4x^{3}+18x^{2}+12x+6.
Portanto outra forma equivalente é
f''(x)=\frac{4x^{3}+18x^{2}+12x+6}{(x^{2}-1)^{3}}.

Resposta

f''(x)=\frac{5}{(x-1)^{3}}-\frac{1}{(x+1)^{3}}
f''(x)=\frac{4x^{3}+18x^{2}+12x+6}{(x^{2}-1)^{3}}

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