Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada de segunda ordem da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função é racional, definida para
tais que , isto é, . - O objetivo final é encontrar
, a segunda derivada de .
Passo 2
Escolha do método: para derivar duas vezes uma fração, existem várias opções (regra do quociente duas vezes, ou reescrever a função de forma mais simples e derivar). Vou usar decomposição em frações parciais porque ela transforma a função em somas de potências simples
, cujas derivadas são rápidas e com menos chance de erro algébrico na prova. Isso torna as contas mais fáceis de fazer à mão.
Passo 3
Fazer a decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Agora igualamos coeficientes. Desenvolvendo o lado direito:
Comparando coeficientes com
chega-se ao sistema
Somando as equações:
.]
Passo 4
Reescrevemos a função usando os valores encontrados:
Para facilitar a diferenciação, escrevemos em potências:
Passo 5
Derivada primeira: usaremos a regra da potência e a regra da cadeia simples. Lembrete rápido: a regra da potência diz que
. Para uma função do tipo
, a derivada é
porque a derivada interna de
é
. Aplicando isso:
e
Logo,
Passo 6
Derivada segunda: derivamos
termo a termo. Novamente usamos a regra da potência. Para uma função
temos
Aplicando isso aos termos de
:
- Para o primeiro termo
, a derivada é
- Para o segundo termo
, a derivada é
Somando os resultados:
Passo 7
Opcionalmente, podemos juntar os termos em uma única fração com denominador
. Calculamos o numerador:
Expandindo
e
, obtemos
Portanto outra forma equivalente é