Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de segunda ordem da função
Informações dadas:
- A função é a soma de quatro termos:
e . - A tarefa é encontrar
, isto é, a derivada segunda de em termos de .
Passo 2
Relembrando regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, para funções
e ,
- Regra do coeficiente constante: se
é constante,
- Regra da potência (power rule): para qualquer número real
,
Aqui
é o expoente (um número) e
é a variável. Exemplo rápido:
.
Passo 3
Vamos aplicar as regras termo a termo para obter a primeira derivada
.
Derivando cada termo:
-
(pela regra da potência com ). -
.
Expliquei: multiplicamos o coeficientepelo resultado da derivada de . -
.
Observação:. -
porque a derivada de uma constante é zero.
Somando tudo:
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada
derivando
termo a termo.
Começamos com
.
Passo 5
Aplicando novamente a regra da potência e a linearidade:
Somando:
Passo 6
Simplificando a soma final:
Se quiser conferir rápido num ponto: por exemplo,
. Isso é só uma checagem numérica, mas a expressão geral é a que importa.