Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
x^{3}+5 x^{2}-2 x+8

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de segunda ordem da função
f(x)=x^{3}+5x^{2}-2x+8.
Informações dadas:
  • A função é a soma de quatro termos: \,x^{3}\,,\,5x^{2}\,,\,-2x e 8.
  • A tarefa é encontrar f''(x), isto é, a derivada segunda de f em termos de x.

Passo 2

Relembrando regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, para funções g e h,
\frac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=\frac{d}{dx}g(x)+\frac{d}{dx}h(x).
  • Regra do coeficiente constante: se c é constante,
\frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot\frac{d}{dx}g(x).
  • Regra da potência (power rule): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente (um número) e x é a variável. Exemplo rápido: \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.

Passo 3

Vamos aplicar as regras termo a termo para obter a primeira derivada f'(x).
Derivando cada termo:
  • \frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2} (pela regra da potência com n=3).
  • \frac{d}{dx}\big(5x^{2}\big)=5\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=5\cdot(2x)=10x.
    Expliquei: multiplicamos o coeficiente 5 pelo resultado da derivada de x^{2}.
  • \frac{d}{dx}\big(-2x\big)=-2\cdot\frac{d}{dx}(x)=-2\cdot1=-2.
    Observação: \frac{d}{dx}(x)=1.
  • \frac{d}{dx}(8)=0 porque a derivada de uma constante é zero.
Somando tudo:
f'(x)=3x^{2}+10x-2.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada f''(x) derivando f'(x) termo a termo.
Começamos com f'(x)=3x^{2}+10x-2.

Passo 5

Aplicando novamente a regra da potência e a linearidade:
  • \frac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)=3\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=3\cdot(2x)=6x.
  • \frac{d}{dx}\big(10x\big)=10\cdot\frac{d}{dx}(x)=10\cdot1=10.
  • \frac{d}{dx}(-2)=0.
Somando:
f''(x)=6x+10+0.

Passo 6

Simplificando a soma final:
f''(x)=6x+10.
Se quiser conferir rápido num ponto: por exemplo, f''(0)=6\cdot0+10=10. Isso é só uma checagem numérica, mas a expressão geral é a que importa.

Resposta

6x+10

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