Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
Passo 1
Pede-se calcular a derivada de segunda ordem da função
.\n
Informações dadas: a função é . Não há outras condições ou restrições.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Revisão rápida das regras de diferenciação que vamos usar (explicadas passo a passo):
Esta é a regra da cadeia: para derivar uma composição
você deriva a função externa
avaliada em
e multiplica pela derivada da função interna
.\n
Além disso, a derivada de uma potência é
Além disso, a derivada de uma potência é
que é apenas a regra do poder combinada com a regra da cadeia quando a base é uma função
.\n
E por fim, as derivadas básicas que precisaremos são
E por fim, as derivadas básicas que precisaremos são
Passo 3
Calcular a primeira derivada
de forma bem clara.\n
Temos . Aplicando a regra do poder com
e
,
Temos
Agora aplicamos a regra da cadeia para
:
. Logo,
Multiplicando os fatores numéricos,
Passo 4
Para obter a segunda derivada
precisamos derivar
. Observe que
é um produto de fatores:
Podemos tratar a constante
separadamente e aplicar a regra do produto à função
e
. A regra do produto é
Passo 5
Calcular
e
explicitamente.\n
Para usamos a regra do poder+cadeia:
Para
Para
usamos a regra da cadeia para o cosseno:
Passo 6
Aplicar a regra do produto a
e
:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Lembrando da constante
que estava multiplicando
em
, multiplicamos o resultado por
:
Distribuindo a constante,
Passo 8
Podemos apresentar formas equivalentes (úteis na prova): fatorando
,
Ou trocando
,
Todas essas expressões são equivalentes; escolha a que achar mais clara na prova.