Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
\sin ^{3} 2 x

Passo 1

Pede-se calcular a derivada de segunda ordem da função (\sin(2x))^{3}.\n
Informações dadas: a função é y=(\sin(2x))^{3}. Não há outras condições ou restrições.

Passo 2

Revisão rápida das regras de diferenciação que vamos usar (explicadas passo a passo):
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)
Esta é a regra da cadeia: para derivar uma composição f\circ g você deriva a função externa f avaliada em g(x) e multiplica pela derivada da função interna g(x).\n
Além disso, a derivada de uma potência é
\frac{d}{dx} [u(x)]^{n} = n\,[u(x)]^{n-1}\cdot u'(x),
que é apenas a regra do poder combinada com a regra da cadeia quando a base é uma função u(x).\n
E por fim, as derivadas básicas que precisaremos são
\frac{d}{dx}\sin(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x),\qquad \frac{d}{dx}\cos(u(x))=-\sin(u(x))\cdot u'(x).

Passo 3

Calcular a primeira derivada y' de forma bem clara.\n
Temos y=(\sin(2x))^{3}. Aplicando a regra do poder com u(x)=\sin(2x) e n=3,
y' = 3(\sin(2x))^{2}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(\sin(2x)\bigr).
Agora aplicamos a regra da cadeia para \sin(2x): \frac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot 2. Logo,
y' = 3(\sin(2x))^{2}\cdot \bigl(2\cos(2x)\bigr).
Multiplicando os fatores numéricos,
y' = 6\,\sin^{2}(2x)\cos(2x).

Passo 4

Para obter a segunda derivada y'' precisamos derivar y'. Observe que y' é um produto de fatores:
y' = 6\cdot \bigl(\sin^{2}(2x)\bigr)\cdot \bigl(\cos(2x)\bigr).
Podemos tratar a constante 6 separadamente e aplicar a regra do produto à função u(x)=\sin^{2}(2x) e v(x)=\cos(2x). A regra do produto é
(uv)' = u'v + uv'.

Passo 5

Calcular u'(x) e v'(x) explicitamente.\n
Para u(x)=\sin^{2}(2x) usamos a regra do poder+cadeia:
u' = 2\sin(2x)\cdot \frac{d}{dx}\bigl(\sin(2x)\bigr) = 2\sin(2x)\cdot \bigl(\cos(2x)\cdot 2\bigr) = 4\sin(2x)\cos(2x).
Para v(x)=\cos(2x) usamos a regra da cadeia para o cosseno:
v' = -\sin(2x)\cdot \frac{d}{dx}(2x) = -\sin(2x)\cdot 2 = -2\sin(2x).

Passo 6

Aplicar a regra do produto a u e v:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin^{2}(2x)\cos(2x)\bigr) = u'v + u v' = \bigl(4\sin(2x)\cos(2x)\bigr)\cos(2x) + \sin^{2}(2x)\bigl(-2\sin(2x)\bigr).
Simplificando cada termo:
= 4\sin(2x)\cos^{2}(2x) - 2\sin^{3}(2x).

Passo 7

Lembrando da constante 6 que estava multiplicando u\cdot v em y', multiplicamos o resultado por 6:
y'' = 6\bigl(4\sin(2x)\cos^{2}(2x) - 2\sin^{3}(2x)\bigr).
Distribuindo a constante,
y'' = 24\sin(2x)\cos^{2}(2x) - 12\sin^{3}(2x).

Passo 8

Podemos apresentar formas equivalentes (úteis na prova): fatorando 12\sin(2x),
y'' = 12\sin(2x)\bigl(2\cos^{2}(2x)-\sin^{2}(2x)\bigr).
Ou trocando \cos^{2}(2x)=1-\sin^{2}(2x),
y'' = 12\sin(2x)\bigl(2-3\sin^{2}(2x)\bigr).
Todas essas expressões são equivalentes; escolha a que achar mais clara na prova.

Resposta

\;y''=24\sin(2x)\cos^{2}(2x)-12\sin^{3}(2x)

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