Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
\frac{\cos 3 x}{x^{2}+1}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada de segunda ordem da função
f(x)=\frac{\cos 3x}{x^{2}+1}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é definida para todo x\in\mathbb{R} porque x^{2}+1>0 sempre.
  • Resultado pedido: f''(x) (a segunda derivada).
  • Não há outras condições ou parâmetros a considerar.

Passo 2

Escolhemos reescrever a função como produto para aplicar regra do produto + regra da cadeia de forma clara:
f(x)=\cos 3x\cdot (x^{2}+1)^{-1}.
Revisando as regras que vamos usar (com explicação didática):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, (u v)'=u'v+u v'. Ou seja: derivada do produto é derivada da primeira vezes a segunda mais primeira vezes derivada da segunda.
  • Regra da cadeia: se temos g(h(x)), a derivada é g'(h(x))\cdot h'(x). Ex.: derivada de \cos(3x) é -\sin(3x)\cdot 3.
  • Derivada de uma potência: \dfrac{d}{dx}\big((x^{2}+1)^{-1}\big) = -1\cdot (x^{2}+1)^{-2}\cdot \dfrac{d}{dx}(x^{2}+1). Aqui \dfrac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x.
Agora calculemos as derivadas necessárias, explicando cada passo:
  • Seja u(x)=\cos 3x. Então, usando cadeia, u'(x) = -\sin 3x \cdot 3 = -3\sin 3x.
  • Seja v(x)=(x^{2}+1)^{-1}. Então, pela regra da potência + cadeia, v'(x) = -1\cdot (x^{2}+1)^{-2}\cdot 2x = -2x (x^{2}+1)^{-2}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto f'(x)=u'v+uv' com os u',v acima:
f'(x)=(-3\sin 3x)\,(x^{2}+1)^{-1} + (\cos 3x)\,(-2x)(x^{2}+1)^{-2}.
Agora colocamos em uma forma racional única (colocando denominador comum (x^{2}+1)^{2}):
f'(x)=\frac{-3\sin 3x\,(x^{2}+1) - 2x\cos 3x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Essa é a primeira derivada, já simplificada. Vamos usar essa expressão para obter a segunda derivada.

Passo 4

Para obter f''(x) é conveniente usar a regra do quociente na forma \displaystyle\frac{N(x)}{D(x)}, pois f'(x)=\dfrac{N}{D} com
N(x) = -3\sin 3x\,(x^{2}+1) - 2x\cos 3x, \qquad D(x) = (x^{2}+1)^{2}.
Regra do quociente: \displaystyle\left(\frac{N}{D}\right)'=\frac{N' D - N D'}{D^{2}}. Vamos calcular N' e D' passo a passo.
Calcule D'(x): como D=(x^{2}+1)^{2},
D'(x)=2(x^{2}+1)\cdot 2x = 4x(x^{2}+1).
Calcule N'(x). Separe N em duas parcelas A+B com
A(x)=-3\sin 3x\,(x^{2}+1), \qquad B(x)=-2x\cos 3x.
Derivando A por produto:
  • seja a(x)=-3\sin 3x e b(x)=x^{2}+1;
  • a'(x)=-3\cdot(\cos 3x)\cdot 3 = -9\cos 3x (cadeia aplicada a \sin 3x);
  • b'(x)=2x.
    Logo
A'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x) = -9\cos 3x\,(x^{2}+1) + (-3\sin 3x)\cdot 2x.
Escrevendo de forma limpa:
A'(x)=-9\cos 3x\,(x^{2}+1) -6x\sin 3x.
Agora B'(x) (produto de -2x e \cos 3x):
  • seja c(x)=-2x com c'(x)=-2;
  • seja d(x)=\cos 3x com d'(x)=-\sin 3x\cdot 3 = -3\sin 3x.
    Logo
B'(x)=c'(x)d(x)+c(x)d'(x) = -2\cos 3x + (-2x)(-3\sin 3x).
Ou seja
B'(x)=-2\cos 3x +6x\sin 3x.
Somando A' e B' obtemos N':
N'(x)=\big(-9\cos 3x\,(x^{2}+1) -6x\sin 3x\big) + \big(-2\cos 3x +6x\sin 3x\big).
Repare que os termos em x\sin 3x se cancelam: -6x\sin 3x +6x\sin 3x=0. Então sobra
N'(x) = -9\cos 3x\,(x^{2}+1) -2\cos 3x.
Fatorando \cos 3x:
N'(x)=-(9x^{2}+11)\cos 3x.

Passo 5

Agora usamos a regra do quociente:
f''(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}.
Substituindo N',D,N,D':
f''(x)=\frac{-(9x^{2}+11)\cos 3x\,(x^{2}+1)^{2} - \big(-3\sin 3x\,(x^{2}+1) - 2x\cos 3x\big)\,4x(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{4}}.
Fatoramos (x^{2}+1) no numerador e simplificamos uma potência:
f''(x)=\frac{-(9x^{2}+11)\cos 3x\,(x^{2}+1) - 4x\big(-3\sin 3x\,(x^{2}+1) - 2x\cos 3x\big)}{(x^{2}+1)^{3}}.
Expandindo e recolhendo termos (fazendo passo a passo os sinais):
  • O termo vindo de N' é -(9x^{2}+11)(x^{2}+1)\cos 3x.
  • O termo vindo de -N D' (veja o sinal) fica +12x\sin 3x\,(x^{2}+1) +8x^{2}\cos 3x.
Somando os termos com \cos 3x e com \sin 3x obtemos o numerador simplificado
12x(x^{2}+1)\sin 3x - (9x^{4}+12x^{2}+11)\cos 3x.
Portanto a forma final, bem arrumada, é
f''(x)=\frac{12x(x^{2}+1)\sin 3x - (9x^{4}+12x^{2}+11)\cos 3x}{(x^{2}+1)^{3}}.
(Se quiser conferir um ponto: em x=0 isso dá f''(0)=-11, que bate com a expansão em série — bom sinal de que a conta está consistente.)

Resposta

f''(x)=\frac{12x(x^{2}+1)\sin 3x - (9x^{4}+12x^{2}+11)\cos 3x}{(x^{2}+1)^{3}}

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