Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada de segunda ordem da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é definida para todo
porque sempre. - Resultado pedido:
(a segunda derivada). - Não há outras condições ou parâmetros a considerar.
Passo 2
Escolhemos reescrever a função como produto para aplicar regra do produto + regra da cadeia de forma clara:
Revisando as regras que vamos usar (com explicação didática):
- Regra do produto: se
e são funções, . Ou seja: derivada do produto é derivada da primeira vezes a segunda mais primeira vezes derivada da segunda. - Regra da cadeia: se temos
, a derivada é . Ex.: derivada de é . - Derivada de uma potência:
. Aqui .
Agora calculemos as derivadas necessárias, explicando cada passo:
- Seja
. Então, usando cadeia, . - Seja
. Então, pela regra da potência + cadeia, .
Passo 3
Aplicando a regra do produto
com os
acima:
Agora colocamos em uma forma racional única (colocando denominador comum
):
Essa é a primeira derivada, já simplificada. Vamos usar essa expressão para obter a segunda derivada.
Passo 4
Para obter
é conveniente usar a regra do quociente na forma
, pois
com
Regra do quociente:
. Vamos calcular
e
passo a passo.
Calcule
: como
,
Calcule
. Separe
em duas parcelas
com
Derivando
por produto:
- seja
e ; -
(cadeia aplicada a ); -
.
Logo
Escrevendo de forma limpa:
Agora
(produto de
e
):
- seja
com ; - seja
com .
Logo
Ou seja
Somando
e
obtemos
:
Repare que os termos em
se cancelam:
. Então sobra
Fatorando
:
Passo 5
Agora usamos a regra do quociente:
Substituindo
:
Fatoramos
no numerador e simplificamos uma potência:
Expandindo e recolhendo termos (fazendo passo a passo os sinais):
- O termo vindo de
é . - O termo vindo de
(veja o sinal) fica .
Somando os termos com
e com
obtemos o numerador simplificado
Portanto a forma final, bem arrumada, é
(Se quiser conferir um ponto: em
isso dá
, que bate com a expansão em série — bom sinal de que a conta está consistente.)