Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de segunda ordem, ou seja,
. As informações relevantes são os coeficientes e expoentes de cada termo da soma acima.
Passo 2
Antes de começar a calcular, vamos lembrar as regras que vou usar (explicadas passo a passo, sem pressa):
- Regra da linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes multiplicativas saem na frente. Em símbolos: se
então . - Regra do poder (power rule): para
com constante, temos
Aqui
é a variável e
é o expoente (um número). Exemplo simples: a derivada de
é
.
- A derivada de uma constante (um número isolado) é zero. Ex.:
.
Com essas duas ideias (linearidade e regra do poder) conseguimos derivar termo a termo polinômios como o dado.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada
derivando cada termo separadamente.
- Derivando
: usamos a linearidade para manter o e a regra do poder para :
- Derivando
:
- Derivando
. Primeiro escrevemos como . Aplicando regra do poder:
- Derivando
:
- Derivando a constante
:
Somando tudo,
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada
derivando
termo a termo, aplicando novamente a regra do poder.
- Derivando
:
- Derivando
:
- Derivando
:
- Derivando
:
Não há mais termos constantes. Somando os resultados obtemos
Passo 5
Pequena checagem mental (sempre bom para prova): os graus das potências caíram em 1 a cada derivada — começamos em grau 5 e na segunda derivada o maior grau é 3, como esperado. Os coeficientes foram obtidos multiplicando os expoentes sucessivamente (5·2, 4·3, etc.) — padrão da regra do poder. Se quiser, pode multiplicar por
para ver tudo com denominador comum, mas não é necessário.