Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
2 x^{5}-3 x^{4}+\frac{2 x^{3}}{5}+x^{2}-4

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2x^{5}-3x^{4}+\frac{2x^{3}}{5}+x^{2}-4
e pede para calcular a derivada de segunda ordem, ou seja, f''(x). As informações relevantes são os coeficientes e expoentes de cada termo da soma acima.

Passo 2

Antes de começar a calcular, vamos lembrar as regras que vou usar (explicadas passo a passo, sem pressa):
  • Regra da linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes multiplicativas saem na frente. Em símbolos: se g(x)=a\cdot h(x) então g'(x)=a\cdot h'(x).
  • Regra do poder (power rule): para h(x)=x^{n} com n constante, temos
h'(x)=n x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente (um número). Exemplo simples: a derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • A derivada de uma constante (um número isolado) é zero. Ex.: (4)'=0.
Com essas duas ideias (linearidade e regra do poder) conseguimos derivar termo a termo polinômios como o dado.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada f'(x) derivando cada termo separadamente.
  • Derivando \,2x^{5}\,: usamos a linearidade para manter o 2 e a regra do poder para x^{5}:
(2x^{5})' = 2\cdot 5x^{4} = 10x^{4}.
  • Derivando -3x^{4}:
(-3x^{4})' = -3\cdot 4x^{3} = -12x^{3}.
  • Derivando \displaystyle \frac{2x^{3}}{5}. Primeiro escrevemos como \displaystyle \frac{2}{5}x^{3}. Aplicando regra do poder:
\left(\frac{2}{5}x^{3}\right)' = \frac{2}{5}\cdot 3x^{2} = \frac{6}{5}x^{2}.
  • Derivando x^{2}:
(x^{2})' = 2x.
  • Derivando a constante -4:
(-4)' = 0.
Somando tudo,
f'(x)=10x^{4}-12x^{3}+\frac{6}{5}x^{2}+2x.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada f''(x) derivando f'(x) termo a termo, aplicando novamente a regra do poder.
  • Derivando 10x^{4}:
(10x^{4})' = 10\cdot 4x^{3} = 40x^{3}.
  • Derivando -12x^{3}:
(-12x^{3})' = -12\cdot 3x^{2} = -36x^{2}.
  • Derivando \displaystyle \frac{6}{5}x^{2}:
\left(\frac{6}{5}x^{2}\right)' = \frac{6}{5}\cdot 2x = \frac{12}{5}x.
  • Derivando 2x:
(2x)' = 2.
Não há mais termos constantes. Somando os resultados obtemos
f''(x)=40x^{3}-36x^{2}+\frac{12}{5}x+2.

Passo 5

Pequena checagem mental (sempre bom para prova): os graus das potências caíram em 1 a cada derivada — começamos em grau 5 e na segunda derivada o maior grau é 3, como esperado. Os coeficientes foram obtidos multiplicando os expoentes sucessivamente (5·2, 4·3, etc.) — padrão da regra do poder. Se quiser, pode multiplicar por 5 para ver tudo com denominador comum, mas não é necessário.

Resposta

\displaystyle f''(x)=40x^{3}-36x^{2}+\frac{12}{5}x+2

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