Determine os pontos de máximo e mínimo e seus respectivos valores máximo e mínimo (caso existam) da função f(x)=\frac{x^{3}}{3}-2 x^{2}+3 x-4 \operatorname{com} x \in[-2,4].

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):\n
A função dada é f(x)=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+3x-4
com domínio restrito ao intervalo \,[-2,4].\n
O que o enunciado pede: determinar os pontos de máximo e mínimo que a função atinge no intervalo fechado \,[-2,4], e os respectivos valores máximo e mínimo (se existirem).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
  • A função é um polinômio (portanto está bem definida e é diferenciável em todo \mathbb{R}).\n
  • O intervalo é fechado \,[-2,4], ou seja, devemos checar tanto pontos críticos interiores quanto os extremos do intervalo (os pontos x=-2 e x=4).\n

Passo 2

Plano de resolução e conceitos necessários (passo a passo do método que vamos usar):\n
  1. Procurar pontos críticos dentro do intervalo, isto é, pontos onde a derivada é zero ou não existe. Aqui a derivada existe em todo lugar, então só precisamos resolver \,f'(x)=0.\n
  2. Avaliar a função nos pontos críticos e também nos extremos do intervalo \,x=-2 e \,x=4.\n
  3. Comparar os valores obtidos; o maior será o valor máximo (e seu(s) ponto(s)), o menor será o valor mínimo (e seu(s) ponto(s)).\n\n
    Pequena lição sobre por que isso funciona (de forma simples e prática):\n
  • A derivada f'(x) mede a inclinação da reta tangente à curva em x. Quando f'(x)=0 temos um ponto onde a inclinação é zero: candidato a máximo local ou mínimo local (ponto crítico).\n
  • Em um intervalo fechado, o valor máximo e mínimo de uma função contínua ocorrem ou em pontos críticos interiores ou nos extremos do intervalo. Por isso precisamos checar ambos.\n

Passo 3

Calcular a derivada de \,f(x) passo a passo e encontrar os pontos críticos:\n
Derivando termo a termo: a derivada de \,\frac{x^{3}}{3} é \,x^{2}, a de -2x^{2} é -4x, a de 3x é 3, e a de -4 é 0. Portanto\n
f'(x)=x^{2}-4x+3.

Passo 4

Resolver \,f'(x)=0 para achar pontos críticos interiores:\n
Colocamos a equação quadrática:\n
x^{2}-4x+3=0.
Fatorando a quadrática (procure dois números cuja soma é -4 e produto é 3):\n
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Assim as raízes são \,x=1 e \,x=3.\n
Ambos pertencem ao intervalo \,[-2,4], então são candidatos a extremos.

Passo 5

Classificar os pontos críticos usando a segunda derivada (teste da segunda derivada) e explicar o teste:\n
A segunda derivada mostra a concavidade da função. Se f''(x_{0})>0 então a curva é côncava para cima em x_{0} e o ponto crítico é mínimo local. Se f''(x_{0})<0 então é côncava para baixo e o ponto é máximo local. Calculamos:\n
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}-4x+3\big)=2x-4.

Passo 6

Aplicar o teste da segunda derivada nos pontos críticos:\n
Para \,x=1:\n
f''(1)=2\cdot 1-4=2-4=-2<0,
logo \,x=1 é um máximo local.\n
Para \,x=3:\n
f''(3)=2\cdot 3-4=6-4=2>0,
logo \,x=3 é um mínimo local.\n
Observação: esses são extremos locais; ainda precisamos comparar valores para ver quais são globais no intervalo.

Passo 7

Avaliar a função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo (contas detalhadas):\n
Calculemos \,f(-2):\n
f(-2)=\frac{(-2)^{3}}{3}-2(-2)^{2}+3(-2)-4=\frac{-8}{3}-2\cdot 4-6-4.
Continuando as contas: -2\cdot 4=-8. Somando os termos não fracionários: -8-6-4=-18. Então\n
f(-2)=\frac{-8}{3}-18=\frac{-8-54}{3}=\frac{-62}{3}.
Calculemos \,f(1):\n
f(1)=\frac{1^{3}}{3}-2\cdot 1^{2}+3\cdot 1-4=\frac{1}{3}-2+3-4.
Somando os inteiros: -2+3-4=-3. Então\n
f(1)=\frac{1}{3}-3=\frac{1-9}{3}=\frac{-8}{3}.
Calculemos \,f(3):\n
f(3)=\frac{3^{3}}{3}-2\cdot 3^{2}+3\cdot 3-4=\frac{27}{3}-2\cdot 9+9-4.
\frac{27}{3}=9 e -2\cdot 9=-18. Somando: 9-18+9-4=(9+9)-18-4=18-22=-4. Assim\n
f(3)=-4.
Calculemos \,f(4):\n
f(4)=\frac{4^{3}}{3}-2\cdot 4^{2}+3\cdot 4-4=\frac{64}{3}-2\cdot 16+12-4.
-2\cdot 16=-32 e 12-4=8, então -32+8=-24. Portanto\n
f(4)=\frac{64}{3}-24=\frac{64-72}{3}=\frac{-8}{3}.
Resumo das avaliações (valores):\n
f(-2)=\frac{-62}{3},\qquad f(1)=\frac{-8}{3},\qquad f(3)=-4,\qquad f(4)=\frac{-8}{3}.

Passo 8

Comparar os valores para identificar máximo e mínimo no intervalo fechado:\n
Vamos ordenar mentalmente os valores (numérica equivalente em terços):\n
\,f(-2)=\frac{-62}{3}\approx -20{,}67,\n
\,f(3)=-4=\frac{-12}{3},\n
\,f(1)=\frac{-8}{3}\approx -2{,}67,\n
\,f(4)=\frac{-8}{3}\approx -2{,}67.\n
O maior valor entre esses é \,\frac{-8}{3} (ocorre em x=1 e em x=4), e o menor valor é \,\frac{-62}{3} (ocorre em x=-2).\n
Portanto: máximo global (no intervalo) acontece em dois pontos x=1 e x=4 com valor \,\frac{-8}{3}. Mínimo global acontece em x=-2 com valor \,\frac{-62}{3}. Além disso, x=3 é um mínimo local com valor -4, mas não é o mínimo global pois -4>\frac{-62}{3}.

Resposta

Pontos de máximo: x=1 e x=4 com valor máximo f(1)=f(4)=\displaystyle\frac{-8}{3}.\n
Ponto de mínimo: x=-2 com valor mínimo f(-2)=\displaystyle\frac{-62}{3}.

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