Determine os pontos de máximo e mínimo e seus respectivos valores máximo e mínimo (caso existam) da função
.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):\n
A função dada é
com domínio restrito ao intervalo
.\n
O que o enunciado pede: determinar os pontos de máximo e mínimo que a função atinge no intervalo fechado , e os respectivos valores máximo e mínimo (se existirem).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
O que o enunciado pede: determinar os pontos de máximo e mínimo que a função atinge no intervalo fechado
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
- A função é um polinômio (portanto está bem definida e é diferenciável em todo
).\n - O intervalo é fechado
, ou seja, devemos checar tanto pontos críticos interiores quanto os extremos do intervalo (os pontos e ).\n
Passo 2
Plano de resolução e conceitos necessários (passo a passo do método que vamos usar):\n
- Procurar pontos críticos dentro do intervalo, isto é, pontos onde a derivada é zero ou não existe. Aqui a derivada existe em todo lugar, então só precisamos resolver
.\n - Avaliar a função nos pontos críticos e também nos extremos do intervalo
e .\n - Comparar os valores obtidos; o maior será o valor máximo (e seu(s) ponto(s)), o menor será o valor mínimo (e seu(s) ponto(s)).\n\n
Pequena lição sobre por que isso funciona (de forma simples e prática):\n
- A derivada
mede a inclinação da reta tangente à curva em . Quando temos um ponto onde a inclinação é zero: candidato a máximo local ou mínimo local (ponto crítico).\n - Em um intervalo fechado, o valor máximo e mínimo de uma função contínua ocorrem ou em pontos críticos interiores ou nos extremos do intervalo. Por isso precisamos checar ambos.\n
Passo 3
Calcular a derivada de
passo a passo e encontrar os pontos críticos:\n
Derivando termo a termo: a derivada de é
, a de
é
, a de
é
, e a de
é
. Portanto\n
Derivando termo a termo: a derivada de
Passo 4
Resolver
para achar pontos críticos interiores:\n
Colocamos a equação quadrática:\n
Colocamos a equação quadrática:\n
Fatorando a quadrática (procure dois números cuja soma é
e produto é
):\n
Assim as raízes são
e
.\n
Ambos pertencem ao intervalo , então são candidatos a extremos.
Ambos pertencem ao intervalo
Passo 5
Classificar os pontos críticos usando a segunda derivada (teste da segunda derivada) e explicar o teste:\n
A segunda derivada mostra a concavidade da função. Se então a curva é côncava para cima em
e o ponto crítico é mínimo local. Se
então é côncava para baixo e o ponto é máximo local. Calculamos:\n
A segunda derivada mostra a concavidade da função. Se
Passo 6
Aplicar o teste da segunda derivada nos pontos críticos:\n
Para :\n
Para
logo
é um máximo local.\n
Para :\n
Para
logo
é um mínimo local.\n
Observação: esses são extremos locais; ainda precisamos comparar valores para ver quais são globais no intervalo.
Observação: esses são extremos locais; ainda precisamos comparar valores para ver quais são globais no intervalo.
Passo 7
Avaliar a função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo (contas detalhadas):\n
Calculemos :\n
Calculemos
Continuando as contas:
. Somando os termos não fracionários:
. Então\n
Calculemos
:\n
Somando os inteiros:
. Então\n
Calculemos
:\n
Calculemos
:\n
Resumo das avaliações (valores):\n
Passo 8
Comparar os valores para identificar máximo e mínimo no intervalo fechado:\n
Vamos ordenar mentalmente os valores (numérica equivalente em terços):\n
,\n
,\n
,\n
.\n
O maior valor entre esses é (ocorre em
e em
), e o menor valor é
(ocorre em
).\n
Portanto: máximo global (no intervalo) acontece em dois pontos e
com valor
. Mínimo global acontece em
com valor
. Além disso,
é um mínimo local com valor
, mas não é o mínimo global pois
.
Vamos ordenar mentalmente os valores (numérica equivalente em terços):\n
O maior valor entre esses é
Portanto: máximo global (no intervalo) acontece em dois pontos
Resposta
Pontos de máximo:
e
com valor máximo
.\n
Ponto de mínimo: com valor mínimo
.
Ponto de mínimo: