Calcule a derivada de segunda ordem
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de segunda ordem, $ y’’ = \frac{d^{2} y}{dx^{2}} $, da função $ y = 7^{x} \sin x $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções que envolvem exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e conhecer as derivadas das funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada, $ y’ $, da função $ y = 7^{x} \sin x $. Como temos um produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz que $ (uv)’ = u’v + uv’ $, onde $ u = 7^{x} $ e $ v = \sin x $.
Passo 3
Calculando $ u’ $:
A derivada de $ 7^{x} $ em relação a $ x $ é $ 7^{x} \ln 7 $. Isso porque a derivada de $ a^{x} $ é $ a^{x} \ln a $.
A derivada de $ 7^{x} $ em relação a $ x $ é $ 7^{x} \ln 7 $. Isso porque a derivada de $ a^{x} $ é $ a^{x} \ln a $.
Passo 4
Calculando $ v’ $:
A derivada de $ \sin x $ em relação a $ x $ é $ \cos x $.
A derivada de $ \sin x $ em relação a $ x $ é $ \cos x $.
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Podemos fatorar $ 7^{x} $:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, $ y’’ $, derivando $ y’ $ em relação a $ x $. Novamente, usamos a regra do produto para derivar cada termo.
Passo 7
Derivando $ 7^{x} \ln 7 \cdot \sin x $:
Isso porque derivamos $ 7^{x} \ln 7 $ e $ \sin x $ separadamente.
Passo 8
Derivando $ 7^{x} \cdot \cos x $:
Aqui, usamos a derivada de $ \cos x $, que é $ -\sin x $.
Passo 9
Agora, juntamos as duas partes derivadas:
Podemos simplificar combinando termos semelhantes:
Resposta
A derivada de segunda ordem da função $ y = 7^{x} \sin x $ é: