Calcule a derivada de segunda ordem y^prime prime=d^2 y / d x^2.
(a) y=7^x sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de segunda ordem, $ y’’ = \frac{d^{2} y}{dx^{2}} $, da função $ y = 7^{x} \sin x $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções que envolvem exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e conhecer as derivadas das funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada, $ y’ $, da função $ y = 7^{x} \sin x $. Como temos um produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz que $ (uv)’ = u’v + uv’ $, onde $ u = 7^{x} $ e $ v = \sin x $.

Passo 3

Calculando $ u’ $:
A derivada de $ 7^{x} $ em relação a $ x $ é $ 7^{x} \ln 7 $. Isso porque a derivada de $ a^{x} $ é $ a^{x} \ln a $.

Passo 4

Calculando $ v’ $:
A derivada de $ \sin x $ em relação a $ x $ é $ \cos x $.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
y' = u'v + uv' = 7^x ln 7 cdot sin x + 7^x cdot cos x
Podemos fatorar $ 7^{x} $:
7^x

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, $ y’’ $, derivando $ y’ $ em relação a $ x $. Novamente, usamos a regra do produto para derivar cada termo.

Passo 7

Derivando $ 7^{x} \ln 7 \cdot \sin x $:
7^x ln 7 cdot sin x
Isso porque derivamos $ 7^{x} \ln 7 $ e $ \sin x $ separadamente.

Passo 8

Derivando $ 7^{x} \cdot \cos x $:
7^x cdot cos x
Aqui, usamos a derivada de $ \cos x $, que é $ -\sin x $.

Passo 9

Agora, juntamos as duas partes derivadas:
y'' = 7^x (ln 7)^2 sin x + 7^x ln 7 cos x + 7^x ln 7 cos x - 7^x sin x
Podemos simplificar combinando termos semelhantes:
y'' = 7^x [ (ln 7)^2 sin x + 2 ln 7 cos x - sin x ]

Resposta

A derivada de segunda ordem da função $ y = 7^{x} \sin x $ é:
y = 7^x sin x

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