Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa derivada usando derivação logarítmica. O enunciado pede pra gente encontrar a derivada da função $ y = x{\frac{1}{x{2}}} $. A derivação logarítmica é uma técnica útil quando temos funções onde a variável está no expoente, como é o caso aqui. Vamos precisar da regra do logaritmo e das regras básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para simplificar a derivação:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, precisamos usar a regra do produto, já que temos
:
Passo 5
Vamos derivar cada parte:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 7
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Lembrando que $ y = x{\frac{1}{x{2}}} $, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é: