Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função.
(c) y=x^1 / x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada usando derivação logarítmica. O enunciado pede pra gente encontrar a derivada da função $ y = x{\frac{1}{x{2}}} $. A derivação logarítmica é uma técnica útil quando temos funções onde a variável está no expoente, como é o caso aqui. Vamos precisar da regra do logaritmo e das regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para simplificar a derivação:
ln y = ln ( x^1x^2 )

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln(a^b) = b cdot ln(a), podemos simplificar o lado direito:
ln y = 1x^2 cdot ln x

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
ddx (ln y) = 1y cdot dydx
No lado direito, precisamos usar a regra do produto, já que temos 1x^2 cdot ln x:
ddx ( 1x^2 cdot ln x ) = ddx ( 1x^2 ) cdot ln x + 1x^2 cdot ddx (ln x)

Passo 5

Vamos derivar cada parte:
ddx ( 1x^2 ) = -2x^3
ddx (ln x) = 1x
Substituindo de volta:
ddx ( 1x^2 cdot ln x ) = -2x^3 cdot ln x + 1x^3

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
1y cdot dydx = -2 ln xx^3 + 1x^3

Passo 7

Isolamos dydx multiplicando ambos os lados por y:
dydx = y ( -2 ln xx^3 + 1x^3 )

Passo 8

Lembrando que $ y = x{\frac{1}{x{2}}} $, substituímos de volta:
y = x^1x^2

Resposta

A derivada da função é:
dydx = 1 - 2 ln xx^3 cdot x^1x^2

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