Discuta a existência e a unicidade de soluções para o seguinte PVI:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente discutir se existe e se é única a solução para um Problema de Valor Inicial (PVI) dado por uma equação diferencial de terceira ordem. A equação é:
E temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais ordinárias de ordem n. Esse teorema nos diz, basicamente, quando podemos garantir que existe uma única solução que satisfaz as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial de forma padrão. A equação dada é de terceira ordem e pode ser escrita como:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Então, identificamos:
Passo 3
O próximo passo é verificar se os coeficientes
,
e
são contínuos no intervalo considerado. Isso é importante porque o Teorema de Existência e Unicidade exige que os coeficientes sejam contínuos no domínio onde buscamos a solução.
Observando os coeficientes:
-
é contínuo para -
é contínuo para -
é contínuo para
Portanto, os coeficientes são contínuos em qualquer intervalo que não contenha
.
Passo 4
Agora, precisamos garantir que o ponto
onde as condições iniciais são dadas está dentro de um intervalo onde os coeficientes são contínuos. Desde que
, isso está ok. Se
, teríamos um problema porque os coeficientes não são contínuos nesse ponto.
Passo 5
Com tudo isso, aplicamos o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais lineares de terceira ordem. O teorema nos diz que, se os coeficientes da equação são contínuos em um intervalo que contém
e as condições iniciais são especificadas nesse ponto, então existe uma única solução que satisfaz o PVI.
Resposta
Existe uma única solução para o PVI dado, ou seja, o Problema de Valor Inicial possui uma solução única no intervalo considerado (desde que
), garantindo assim tanto a existência quanto a unicidade da solução.