Discuta a existência e a unicidade de soluções para o seguinte PVI:
rcc x^3 y^prime prime prime-x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y & = & 0 y(x0)=y0, y^prime(x0) & = & y1, y^prime prime(x0)=y2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente discutir se existe e se é única a solução para um Problema de Valor Inicial (PVI) dado por uma equação diferencial de terceira ordem. A equação é:
x^3 y''' - x^2 y'' - 2x y' + 2y = 0
E temos as condições iniciais:
y(x0) = y0, y'(x0) = y1, y''(x0) = y2
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais ordinárias de ordem n. Esse teorema nos diz, basicamente, quando podemos garantir que existe uma única solução que satisfaz as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial de forma padrão. A equação dada é de terceira ordem e pode ser escrita como:
y''' + P(x) y'' + Q(x) y' + R(x) y = 0
Dividindo todos os termos por x^3, temos:
y''' - 1x y'' - 2x^2 y' + 2x^3 y = 0
Então, identificamos:
P(x) = -1x, Q(x) = -2x^2, R(x) = 2x^3

Passo 3

O próximo passo é verificar se os coeficientes P(x), Q(x) e R(x) são contínuos no intervalo considerado. Isso é importante porque o Teorema de Existência e Unicidade exige que os coeficientes sejam contínuos no domínio onde buscamos a solução.
Observando os coeficientes:
  • P(x) = -1x é contínuo para x neq 0
  • Q(x) = -2x^2 é contínuo para x neq 0
  • R(x) = 2x^3 é contínuo para x neq 0
Portanto, os coeficientes são contínuos em qualquer intervalo que não contenha x = 0.

Passo 4

Agora, precisamos garantir que o ponto x0 onde as condições iniciais são dadas está dentro de um intervalo onde os coeficientes são contínuos. Desde que x0 neq 0, isso está ok. Se x0 = 0, teríamos um problema porque os coeficientes não são contínuos nesse ponto.

Passo 5

Com tudo isso, aplicamos o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais lineares de terceira ordem. O teorema nos diz que, se os coeficientes da equação são contínuos em um intervalo que contém x0 e as condições iniciais são especificadas nesse ponto, então existe uma única solução que satisfaz o PVI.

Resposta

Existe uma única solução para o PVI dado, ou seja, o Problema de Valor Inicial possui uma solução única no intervalo considerado (desde que x0 neq 0), garantindo assim tanto a existência quanto a unicidade da solução.

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