Calcule a derivada de segunda ordem
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada de segunda ordem da função $ y = x(2x + 1)^4 $. Aqui, a matéria envolve cálculo de derivadas, mais especificamente, a regra do produto e a regra da cadeia que vamos precisar usar para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada $ y’ $. Temos uma função que é o produto de duas partes: $ u = x $ e $ v = (2x + 1)^4 $. Para derivar $ y = u \cdot v $, usamos a regra do produto:
Calculando as derivadas individuais:
Agora, aplicando na regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada $ y’’ $ derivando novamente $ y’ $. Vamos derivar cada termo separadamente.
Derivando $ (2x + 1)^4 $:
Derivando $ 8x(2x + 1)^3 $ usando a regra do produto:
Agora, juntando tudo:
Podemos fatorar $ 16(2x + 1)^2 $:
Resposta
A derivada de segunda ordem é $ y’’ = 16(2x + 1)^2 (5x + 1) $.