Calcule a derivada de segunda ordem y^prime prime=d^2 y / d x^2.
(b) y=x(2 x+1)^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada de segunda ordem da função $ y = x(2x + 1)^4 $. Aqui, a matéria envolve cálculo de derivadas, mais especificamente, a regra do produto e a regra da cadeia que vamos precisar usar para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada $ y’ $. Temos uma função que é o produto de duas partes: $ u = x $ e $ v = (2x + 1)^4 $. Para derivar $ y = u \cdot v $, usamos a regra do produto:
y'
Calculando as derivadas individuais:
u = x
v = (2x + 1)^4
Agora, aplicando na regra do produto:
y = u cdot v

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada $ y’’ $ derivando novamente $ y’ $. Vamos derivar cada termo separadamente.
Derivando $ (2x + 1)^4 $:
y''
Derivando $ 8x(2x + 1)^3 $ usando a regra do produto:
y'
(2x + 1)^4
ddx((2x + 1)^4) = 4(2x + 1)^3 cdot 2 = 8(2x + 1)^3
Agora, juntando tudo:
8x(2x + 1)^3
Podemos fatorar $ 16(2x + 1)^2 $:
u = 8x Rightarrow u' = 8

Resposta

A derivada de segunda ordem é $ y’’ = 16(2x + 1)^2 (5x + 1) $.

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