Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função.
(b) y=x^3 / 4 raizx^2+1(3 x+2)^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada usando a derivação logarítmica. A gente vai precisar saber como aplicar logaritmos em funções e depois derivar passo a passo. A função que temos é:
y = x^3/4 raizx^2+1(3 x+2)^5
Vamos simplificar isso com logaritmo para facilitar a derivação.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a multiplicação e divisão:
ln(y) = ln(x^3/4 raizx^2+1(3 x+2)^5)

Passo 3

Usando as propriedades dos logaritmos, transformamos a divisão em subtração e os produtos em somas:
ln(y) = ln(x^3/4) + ln(raizx^2+1) - ln((3x + 2)^5)

Passo 4

Agora, aplicamos a propriedade de trazer os expoentes para frente:
ln(y) = 34ln(x) + 12ln(x^2+1) - 5ln(3x + 2)

Passo 5

Vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $. Lembrando que a derivada de $ \ln(y) $ é $ \frac{y’}{y} $:
x

Passo 6

Simplificamos os termos:
y'y = 34x + xx^2+1 - 153x + 2

Passo 7

Isolamos $ y’ $ multiplicando ambos os lados por $ y $:
y'

Passo 8

Substituímos $ y $ pela expressão original:
y

Resposta

A derivada da função é:
y' = x^3/4 raizx^2+1(3 x+2)^5 ( 34x + xx^2+1 - 153x + 2 )

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