Dada a EDO homogênea de 2^ a ordem
d^2 yd x^2-14 d yd x+50 y=0
Encontre a solução geral da EDO dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é homogênea. Isso significa que ela envolve a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $. O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar o método das equações características, que é uma técnica padrão para resolver esse tipo de EDO.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica associada à EDO. A equação dada é:
d^2 yd x^2 - 14 d yd x + 50 y = 0
A equação característica fica assim:
r^2 - 14 r + 50 = 0
Aqui, $ r $ representa as raízes que vamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante da equação quadrática para descobrir as raízes. O discriminante ($ \Delta $) é dado por:
De
Onde $ a = 1 $, $ b = -14 $ e $ c = 50 $. Então:
De
Como o discriminante é negativo ($ \Delta < 0 $), sabemos que as raízes serão números complexos.

Passo 4

Com o discriminante negativo, as raízes da equação característica são:
r = -b pm raizDe
Então, as raízes são $ r = 7 + i $ e $ r = 7 - i $.

Passo 5

Quando as raízes são complexas da forma $ \alpha \pm \beta i $, a solução geral da EDO é:
alpha pm beta i
Aqui, $ \alpha = 7 $ e $ \beta = 1 $. Substituindo esses valores, temos:
y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) )

Resposta

A solução geral da EDO dada é:
y(x) = e^7x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) )

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