Dada a EDO homogênea de
ordem
Encontre a solução geral da EDO dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é homogênea. Isso significa que ela envolve a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $. O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar o método das equações características, que é uma técnica padrão para resolver esse tipo de EDO.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica associada à EDO. A equação dada é:
A equação característica fica assim:
Aqui, $ r $ representa as raízes que vamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular o discriminante da equação quadrática para descobrir as raízes. O discriminante ($ \Delta $) é dado por:
Onde $ a = 1 $, $ b = -14 $ e $ c = 50 $. Então:
Como o discriminante é negativo ($ \Delta < 0 $), sabemos que as raízes serão números complexos.
Passo 4
Com o discriminante negativo, as raízes da equação característica são:
Então, as raízes são $ r = 7 + i $ e $ r = 7 - i $.
Passo 5
Quando as raízes são complexas da forma $ \alpha \pm \beta i $, a solução geral da EDO é:
Aqui, $ \alpha = 7 $ e $ \beta = 1 $. Substituindo esses valores, temos:
Resposta
A solução geral da EDO dada é: