Calcule a transformada de Laplace:
f(t)=t cosh t,

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=tcosh t. Vamos usar teoria de transformada de Laplace e a propriedade que envolve o fator t multiplicando uma função, além da tabela básica para cosh t.

Passo 2

A propriedade chave é
Lt,g(t)(s) = -ddsl[G(s)r],
onde G(s)=Lg(t)(s). No nosso caso, g(t)=cosh t e sabemos da tabela que
G(s)=Lcosh t(s)=ss^2-1, s>1

Passo 3

Agora aplicamos o quociente para derivar G(s)=dfracss^2-1. Usando a regra:
ddsl(uvr)=u'v - uv'v^2,
tomamos u=s e v=s^2-1. Então:
dGds=1cdot(s^2-1)-scdot(2s)(s^2-1)^2=s^2-1-2s^2(s^2-1)^2=-s^2-1(s^2-1)^2=-s^2+1(s^2-1)^2

Passo 4

Pela propriedade de multiplicar por t, temos
Ltcosh t(s)=-ddsl[G(s)r]=-l(-s^2+1(s^2-1)^2r)=s^2+1(s^2-1)^2

Passo 5

A região de convergência permanece s>1, a mesma de cosh t.

Resposta

s^2+1(s^2-1)^2, s>1

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