Calcule a derivada segunda
p) y=(2 x+1)^x

Passo 1

Temos a função y=(2x+1)^x, que requer diferenciar uma expressão com base e expoente dependentes de x. O conteúdo envolve derivadas de funções exponenciais gerais; vamos usar logaritmo natural, regra do produto e do quociente.

Passo 2

Aplicando logaritmo natural para simplificar, escrevemos:
ln y = x ln(2x+1)
Derivando ambos os lados em relação a x, usando que (ln y)'=y'/y, obtemos:
y'y = ln(2x+1) + x cdot 22x+1 = ln(2x+1) + 2x2x+1
Logo,
y' = y l(ln(2x+1) + tfrac2x2x+1r) = (2x+1)^x l(ln(2x+1) + tfrac2x2x+1r)

Passo 3

Chamamos A(x)=ln(2x+1) + tfrac2x2x+1. Para encontrar A'(x), derivamos cada termo: a derivada de ln(2x+1) é tfrac22x+1, e a de tfrac2x2x+1 obtemos pela regra do quociente:
ddxl(tfrac2x2x+1r)=2(2x+1)-(2x)cdot2(2x+1)^2=2(2x+1)^2
Portanto,
A'(x)=22x+1+2(2x+1)^2

Passo 4

Para a segunda derivada, usamos y'=y,A(x) e aplicamos a regra do produto: y''=y',A(x)+y,A'(x). Como y'=y,A(x), isso resulta em y''=yl[A(x)^2+A'(x)r]. Substituindo y=(2x+1)^x e A'(x) na expressão, chegamos à forma final.

Resposta

y'' = (2x+1)^x [(ln(2x+1)+2x2x+1)^2 + 22x+1 + 2(2x+1)^2]

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