Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico.
;
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as curvas de nível de
ou seja, achar para cada valor real
e depois esboçar o gráfico 3D de
. Vamos usar conceito de funções homogêneas e coordenadas polares.
Passo 2
Para encontrar as curvas de nível, igualamos
Multiplicando ambos os lados por
Agrupando termos:
Logo
Passo 3
Quando
, o quociente
, então
que são duas retas passando pela origem. Para seus casos extremos:
- Se
- Se
Para
Passo 4
No caso especial
vem
os quais são as retas com ângulo de
Passo 5
Para esboçar em 2D, basta traçar as retas:
- Eixo
(nível ), - Eixo
(nível ), - Reta
(nível ), - Reta
para alguns valores de entre e .
Passo 6
Para o gráfico 3D, observe que
depende só do ângulo
em coordenadas polares:
Isso gera uma superfície cilíndrica (sem depender de
Resposta
As curvas de nível são retas que passam pela origem, dadas por
além do eixo