Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico.
f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2,(x, y) neq(0,0);

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível de
f(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2,(x,y)ne(0,0)
ou seja, achar para cada valor real c o conjunto
(x,y):f(x,y)=c
e depois esboçar o gráfico 3D de z=f(x,y). Vamos usar conceito de funções homogêneas e coordenadas polares.

Passo 2

Para encontrar as curvas de nível, igualamos
x^2-y^2x^2+y^2=c
Multiplicando ambos os lados por (x^2+y^2) (não nulo) obtemos
x^2-y^2=c(x^2+y^2)
x^2-y^2=cx^2+cy^2
Agrupando termos:
(1-c)x^2=(1+c)y^2
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y^2x^2=1-c1+c, xne0

Passo 3

Quando -1, o quociente (1-c)/(1+c)>0, então
y=pm xraiz1-c1+c
que são duas retas passando pela origem. Para seus casos extremos:
- Se c=1, temos 1-c=0, então y=0 (eixos x).
- Se c=-1, temos 1+c=0, então x=0 (eixos y).
Para |c|>1 não há pontos reais que satisfaçam a equação.

Passo 4

No caso especial c=0 vem
y^2/x^2=1implies y=pm x,
os quais são as retas com ângulo de 45^circ e 135^circ.

Passo 5

Para esboçar em 2D, basta traçar as retas:
  • Eixo x (nível c=1),
  • Eixo y (nível c=-1),
  • Reta y=pm x (nível c=0),
  • Reta y=pm xraiz(1-c)/(1+c) para alguns valores de c entre -1 e 1.

Passo 6

Para o gráfico 3D, observe que f depende só do ângulo theta em coordenadas polares:
f(r,theta)=cos(2theta)
Isso gera uma superfície cilíndrica (sem depender de r) com cristas onde cos2theta=1 (eixo x) de valor +1 e vales onde cos2theta=-1 (eixo y) de valor -1. Entre eles há ondulações periódicas de período angular pi.

Resposta

As curvas de nível são retas que passam pela origem, dadas por
y=pm xraiz1-c1+c,-1
além do eixo x quando c=1 e do eixo y quando c=-1. Para |c|>1 não há soluções. O gráfico 3D é uma superfície cilíndrica em torno do eixo z, de valor máximo +1 ao longo do eixo x e mínimo -1 ao longo do eixo y, variando apenas com o ângulo theta ( f=cos2theta).

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