Calcule a derivada segunda
s) y=x^x sin x

Passo 1

No primeiro passo, vamos resumir o enunciado: queremos calcular a segunda derivada de y = x^xsin x. O conteúdo que usamos aqui inclui a regra do produto, a derivada de x^x (via cadeia, escrevendo x^x = e^xln x) e as derivadas de sin x e cos x.

Passo 2

Agora vamos achar a derivada primeira aplicando a regra do produto a y = f(x)g(x) com f(x)=x^x e g(x)=sin x. Primeiro derivamos f(x): escrevendo x^x = e^xln x e usando cadeia, obtemos
f'(x)=x^x(ln x+1)
e derivamos g(x) normalmente:
g'(x)=cos x

Passo 3

Logo a derivada primeira é
y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=x^x(ln x+1)sin x + x^xcos x
Em seguida, simplificamos y' fatorando x^x:
y'=x^xl((ln x+1)sin x + cos xr)

Passo 4

Agora para calcular a segunda derivada aplicamos de novo a regra do produto a y'=h(x)u(x), onde h(x)=x^x e u(x)=(ln x+1)sin x+cos x. Já sabemos
h'(x)=x^x(ln x+1)

Passo 5

Falta achar u'(x). Derivando termo a termo,
u'(x)=1xsin x + (ln x+1)cos x - sin x

Passo 6

Por fim, juntamos tudo:
y''=h'(x)u(x)+h(x)u'(x)=x^x(ln x+1)l((ln x+1)sin x+cos xr)+x^xl(1xsin x+(ln x+1)cos x-sin xr)

Passo 7

Agrupando termos e fatorando x^x chegamos ao resultado final.

Resposta

y''=x^xl(l((ln x+1)^2+tfrac1-xxr)sin x + 2(ln x+1)cos xr)

Exercícios relacionados