Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico.
f(x, y)=x+yx-y, x neq y.

Passo 1

O problema pede para desenhar as curvas de nível de f(x,y)=\frac{x+y}{x-y} (domínio x\neq y) e depois esboçar o gráfico 3D dessa função. Vamos usar o conceito de curva de nível: para cada valor constante k, definimos a equação f(x,y)=k e obtemos uma reta no plano.

Passo 2

Fixando f(x,y)=k, temos:
x+yx-y=k
Multiplicando,
x+y = k(x-y)
x+y = kx - ky
Reagrupando termos em x e y,
(1-k)x + (1+k)y = 0

Passo 3

Isso é a equação de reta passando pela origem. Para k\neq -1, isolamos y:
y = k-1k+1,x

Passo 4

Para k=-1, o coeficiente de y some e ficamos com x=0, que é uma reta vertical.

Passo 5

As curvas de nível são então retas de equação
y = m x, m=k-1k+1, variando m conforme k. Em particular:
– Se k=0, y=-x.
– Se k=1, y=0 (eixo x).
– Se k\to+\infty, m\to1^- aproximando y=x.
– Se k\to-1^+, m\to+\infty (reta quase vertical).
– Para k=-1, x=0 (eixo y).

Passo 6

Em coordenadas polares fazemos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Então
f(r,theta)=r(costheta+sintheta)r(costheta-sintheta)=costheta+sinthetacostheta-sintheta, que depende só de \theta, não de r. Isso significa que o valor de f é constante ao longo de cada raio (cada direção), e salta sempre que \cos\theta-\sin\theta=0 (i.e. \theta=\pi/4+ n\pi/2), que corresponde à reta y=x.

Passo 7

Portanto, o gráfico 3D de z=f(x,y) é uma superfície cilíndrica em torno da origem no plano xy: para cada direção \theta há um valor z constante, e esse perfil z(\theta)= (\cos\theta+\sin\theta)/(\cos\theta-\sin\theta) se repete radialmente.

Passo 8

No esboço plano (xy) desenhamos várias retas y=(k-1)/(k+1)x para diferentes k, lembrando que a reta y=x é a fronteira do domínio. No esboço 3D representamos essas retas em planos horizontais z=k empilhadas, formando uma superfície de “gomos” separados nas direções onde y=x.

Resposta

As curvas de nível são retas que passam pela origem de equação
y=k-1k+1,x(kneq -1),
mais a reta vertical x=0 para k=-1. O gráfico 3D é uma superfície cilíndrica em que z=(x+y)/(x-y) depende só da direção (ângulo) em que o ponto se encontra, com descontinuidades sempre na reta y=x.

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