Calcule a derivada segunda
q) y=x^sin 3 x

Passo 1

Temos a função x. O conteúdo aqui é diferenciação de potência com base e expoente variando em . Vamos usar diferenciação logarítmica e depois aplicar regras de produto e cadeia.

Passo 2

Fazendo diferenciação logarítmica: seja y = x^sin(3x). Tomamos logaritmo natural:
ln y = sin(3x),ln x
Agora derivamos em relação a x:
y'y = cos(3x)cdot3ln x + sin(3x)cdot1x
Logo,
y' = yl(3ln xcos(3x) + sin(3x)xr)
Como y = x^sin(3x),
y' = x^sin(3x)l(3ln xcos(3x) + sin(3x)xr)

Passo 3

Para organizar o cálculo de y'', definimos
A = x^sin(3x), B = 3ln xcos(3x) + sin(3x)x,
assim y' = A,B. Note também que
A' = A,B
pela expressão de y'.

Passo 4

Agora derivamos B. Escrevendo B = 3ln xcos(3x) + sin(3x)x^-1, temos:
Derivada de 3ln xcos(3x):
ddx[3ln xcos(3x)] = 3l(1xcos(3x) + ln x(-3sin(3x))r) = 3cos(3x)x - 9ln xsin(3x)
Derivada de sin(3x)x^-1:
ddx[sin(3x)x^-1] = 3cos(3x)x^-1 - sin(3x)x^-2 = 3cos(3x)x - sin(3x)x^2
Somando,
B' = -9ln xsin(3x) + 6cos(3x)x - sin(3x)x^2

Passo 5

Aplicando a regra do produto em y' = A,B:
y'' = A',B + A,B' = A B^2 + A B'
Substituindo A = x^sin(3x), B e B', obtemos
y'' = x^sin(3x)l[l(3ln xcos(3x) + tfracsin(3x)xr)^2 - 9ln xsin(3x) + tfrac6cos(3x)x - tfracsin(3x)x^2r]

Resposta

y'' = x^sin(3x)l[l(3ln xcos(3x) + tfracsin(3x)xr)^2 - 9ln xsin(3x) + tfrac6cos(3x)x - tfracsin(3x)x^2r]

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